Решите неравенство lg2x - lgx - 2 < 0.

Решение

Давай решим это логарифмическое неравенство по шагам:

1. Замена переменной:

   Пусть \(t = \lg x\). Тогда неравенство примет вид:

   \[t^2 - t - 2 < 0\]

2. Решение квадратного неравенства:

   Найдем корни квадратного уравнения \(t^2 - t - 2 = 0\). Можно использовать теорему Виета или дискриминант.

   Здесь корни: \(t_1 = -1\) и \(t_2 = 2\).

   Таким образом, неравенство можно переписать как:

   \[(t + 1)(t - 2) < 0\]

   Решением этого неравенства является интервал:

   \[-1 < t < 2\]

3. Возврат к исходной переменной:

   Теперь вернемся к исходной переменной \(x\):

   \[-1 < \lg x < 2\]

4. Решение двойного неравенства:

   Это двойное неравенство можно разбить на два:

   \[\lg x > -1\]

   и

   \[\lg x < 2\]

5. Решение каждого неравенства:

   • \[\lg x > -1 \implies x > 10^{-1} \implies x > 0.1\]

   • \[\lg x < 2 \implies x < 10^2 \implies x < 100\]

6. Объединение решений:

   Объединяя оба решения, получаем:

   \[0.1 < x < 100\]

7. Учет ОДЗ:

   Так как у нас логарифм, необходимо учесть область допустимых значений (ОДЗ): \(x > 0\). В нашем случае, полученное решение уже удовлетворяет этому условию.

Таким образом, решением неравенства является интервал \((0.1; 100)\).

Этот интервал можно записать как \((0.1; 100)\).

Ответ: (0, 1; 100)

Отлично! Теперь ты умеешь решать такие неравенства. Продолжай в том же духе, и все получится!