Решите неравенство 2 log2 (x √7) – log2 (x/(5 − x)) ≤ log2 (8x² + 14/x − 6)

Решение

Привет! Давай решим это логарифмическое неравенство вместе. Будем действовать аккуратно и последовательно, чтобы не запутаться.

Шаг 1: Преобразуем неравенство, используя свойства логарифмов.

Нам дано неравенство:

\[ 2 \log_2(x\sqrt{7}) - \log_2\left(\frac{x}{5-x}\right) \le \log_2\left(8x^2 + \frac{14}{x} - 6\right) \]

Применим свойства логарифмов:

1. Свойство степени: \[ a \log_b(x) = \log_b(x^a) \]
2. Свойство разности: \[ \log_b(x) - \log_b(y) = \log_b\left(\frac{x}{y}\right) \]

Применим первое свойство к первому члену:

\[ \log_2((x\sqrt{7})^2) - \log_2\left(\frac{x}{5-x}\right) \le \log_2\left(8x^2 + \frac{14}{x} - 6\right) \] \[ \log_2(7x^2) - \log_2\left(\frac{x}{5-x}\right) \le \log_2\left(8x^2 + \frac{14}{x} - 6\right) \]

Теперь применим второе свойство:

\[ \log_2\left(\frac{7x^2}{\frac{x}{5-x}}\right) \le \log_2\left(8x^2 + \frac{14}{x} - 6\right) \] \[ \log_2(7x^2 \cdot \frac{5-x}{x}) \le \log_2\left(8x^2 + \frac{14}{x} - 6\right) \] \[ \log_2(7x(5-x)) \le \log_2\left(8x^2 + \frac{14}{x} - 6\right) \]

Шаг 2: Упростим неравенство, избавившись от логарифмов.

Так как логарифмы по основанию 2, которое больше 1, можно убрать логарифмы, сохранив знак неравенства:

\[ 7x(5-x) \le 8x^2 + \frac{14}{x} - 6 \]

Раскроем скобки и упростим:

\[ 35x - 7x^2 \le 8x^2 + \frac{14}{x} - 6 \]

Шаг 3: Перенесем все в одну сторону и приведем к общему знаменателю.

\[ 0 \le 15x^2 - 35x + \frac{14}{x} - 6 \] \[ 0 \le \frac{15x^3 - 35x^2 - 6x + 14}{x} \]

Шаг 4: Найдем корни числителя.

Попробуем найти рациональный корень уравнения:

\[ 15x^3 - 35x^2 - 6x + 14 = 0 \]

Заметим, что \( x = \frac{7}{5} \) является корнем, так как:

\[ 15\left(\frac{7}{5}\right)^3 - 35\left(\frac{7}{5}\right)^2 - 6\left(\frac{7}{5}\right) + 14 = \frac{343}{25} - \frac{343}{5} - \frac{42}{5} + 14 = 0 \]

Теперь разделим многочлен \( 15x^3 - 35x^2 - 6x + 14 \) на \( x - \frac{7}{5} \) или, что то же самое, на \( 5x - 7 \). После деления получим:

\[ 15x^3 - 35x^2 - 6x + 14 = (5x - 7)(3x^2 - 2) \]

Таким образом, уравнение принимает вид:

\[ \frac{(5x - 7)(3x^2 - 2)}{x} \ge 0 \]

Корни числителя: \( x_1 = \frac{7}{5} \), \( x_2 = \sqrt{\frac{2}{3}} \), \( x_3 = -\sqrt{\frac{2}{3}} \).

Корень знаменателя: \( x = 0 \).

Шаг 5: Решим неравенство методом интервалов.

Отметим корни на числовой прямой: