Решите неравенство x - 3 < √(x + 9). В ответ запишите количество целых решений неравенства.

Давай решим неравенство по шагам.

1. Определим область допустимых значений (ОДЗ):

   Подкоренное выражение должно быть неотрицательным:

   \[x + 9 \ge 0\] \[x \ge -9\]
2. Преобразуем неравенство:

   Исходное неравенство:

   \[x - 3 < \sqrt{x + 9}\]

   Перенесем 3 в правую часть:

   \[\sqrt{x + 9} > x - 3\]
3. Рассмотрим два случая:
   • Случай 1: Если x - 3 < 0 (т.е. x < 3), то неравенство верно, так как квадратный корень всегда неотрицателен.

     Таким образом, -9 \le x < 3.

   • Случай 2: Если x - 3 \ge 0 (т.е. x \ge 3), то обе части неравенства можно возвести в квадрат: \[(\sqrt{x + 9})^2 > (x - 3)^2\] \[x + 9 > x^2 - 6x + 9\] \[0 > x^2 - 7x\] \[x^2 - 7x < 0\] \[x(x - 7) < 0\]

     Решим это квадратное неравенство:

     Корни: x = 0 и x = 7.

     Так как ветви параболы направлены вверх, то неравенство x(x - 7) < 0 выполняется между корнями:

     \[0 < x < 7\]

     Учитывая условие, что x \ge 3, получаем 3 \le x < 7.

4. Объединим решения из обоих случаев:

   Из случая 1: -9 \le x < 3.

   Из случая 2: 3 \le x < 7.

   Объединяя, получаем -9 \le x < 7.

5. Найдем целые решения:

   Целые решения этого неравенства:

   \[x = -9, -8, -7, -6, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6\]
6. Посчитаем количество целых решений:

   Количество целых решений: 16.

Ответ: 16