Решите неравенство: (1/3)^(x^2+4x+6)/(x^2-4x+3) > 9.

Решение:

Запишем неравенство в виде:

\[ \left(\frac{1}{3}\right)^{\frac{x^2+4x+6}{x^2-4x+3}} > 9 \]

Перепишем 9 как степень 1/3:

\[ 9 = 3^2 = \left(\frac{1}{3}\right)^{-2} \]

Теперь неравенство выглядит так:

\[ \left(\frac{1}{3}\right)^{\frac{x^2+4x+6}{x^2-4x+3}} > \left(\frac{1}{3}\right)^{-2} \]

Поскольку основание степени \( \frac{1}{3} \) меньше 1, при переходе от степеней к показателям знак неравенства меняется на противоположный:

\[ \frac{x^2+4x+6}{x^2-4x+3} < -2 \]

Перенесём -2 в левую часть:

\[ \frac{x^2+4x+6}{x^2-4x+3} + 2 < 0 \]

Приведём к общему знаменателю:

\[ \frac{x^2+4x+6 + 2(x^2-4x+3)}{x^2-4x+3} < 0 \]

Раскроем скобки и упростим числитель:

\[ \frac{x^2+4x+6 + 2x^2-8x+6}{x^2-4x+3} < 0 \]

Числитель: \( 3x^2 - 4x + 12 \)

Знаменатель: \( x^2 - 4x + 3 \)

Получаем неравенство:

\[ \frac{3x^2 - 4x + 12}{x^2 - 4x + 3} < 0 \]

Рассмотрим числитель \( 3x^2 - 4x + 12 \). Дискриминант D = \( (-4)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 12 = 16 - 144 = -128 \). Так как D < 0 и коэффициент при \( x^2 \) (равный 3) положительный, числитель \( 3x^2 - 4x + 12 \) всегда положителен.

Теперь рассмотрим знаменатель \( x^2 - 4x + 3 \). Найдём его корни:

\[ x^2 - 4x + 3 = 0 \]

\[ D = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 16 - 12 = 4 \]

\[ x_1 = \frac{4 + \sqrt{4}}{2} = \frac{4+2}{2} = 3 \]

\[ x_2 = \frac{4 - \sqrt{4}}{2} = \frac{4-2}{2} = 1 \]

Знаменатель равен нулю при \( x=1 \) и \( x=3 \). Знаменатель положителен при \( x < 1 \) или \( x > 3 \), и отрицателен при \( 1 < x < 3 \).

Так как числитель всегда положителен, знак всего выражения \( \frac{3x^2 - 4x + 12}{x^2 - 4x + 3} \) определяется знаком знаменателя. Нам нужно, чтобы это выражение было меньше нуля:

\[ \frac{+}{-} < 0 \]

Это выполняется, когда знаменатель отрицателен, то есть при \( 1 < x < 3 \).

Важно: знаменатель не должен быть равен нулю, поэтому \( x \neq 1 \) и \( x \neq 3 \).

Таким образом, решение неравенства — интервал \( (1; 3) \).