Решите неравенство (16x²-24x+9)/(4x²+x-3) ≤ 0.

Шаг 1: Разложим числитель и знаменатель на множители. Числитель: $$16x^2 - 24x + 9 = (4x-3)^2$$. Знаменатель: $$4x^2 + x - 3 = (4x-3)(x+1)$$.

Шаг 2: Сократим дробь, учитывая, что $$4x-3 eq 0$$, то есть $$x eq 3/4$$. Неравенство примет вид $$(4x-3)/(x+1) eq 0$$ и $$(4x-3)/(x+1) gtr 0$$.

Шаг 3: Решим неравенство $$(4x-3)/(x+1) gtr 0$$. Корни числителя и знаменателя: $$x=3/4$$ и $$x=-1$$. Используя метод интервалов, получаем, что неравенство выполняется при $$x eq 3/4$$ и $$x eq -1$$, и $$(4x-3)/(x+1) gtr 0$$.

Шаг 4: Учитывая, что $$(4x-3)^2 gtr 0$$ при $$x eq 3/4$$, и знаменатель $$4x^2+x-3 eq 0$$, то есть $$x eq 3/4$$ и $$x eq -1$$. Неравенство $$(4x-3)^2 / ((4x-3)(x+1)) gtr 0$$ эквивалентно $$(4x-3)/(x+1) gtr 0$$ при $$x eq 3/4$$. Решение этого неравенства: $$x eq 3/4$$ и $$x eq -1$$.

Шаг 5: Исходное неравенство $$rac{(4x-3)^2}{(4x-3)(x+1)} gtr 0$$ выполняется, когда $$(4x-3)/(x+1) gtr 0$$ и $$x eq 3/4$$. Решение: $$x eq 3/4$$ и $$x eq -1$$. Таким образом, решение неравенства: $$x eq 3/4$$ и $$x eq -1$$. Это означает, что $$x gtr -1$$ и $$x eq 3/4$$.