Решите неравенство: 2^{\(\log\)_{2}{\(\log\)_{2}{x}}} + \(\log\)_{4}^{2}{x} - 3 \(\le\) 0

Решение:

Данное неравенство:

\[ 2^{\log_{2}{\log_{2}{x}}} + \log_{4}^{2}{x} - 3 \le 0 \]

Для начала определим область допустимых значений (ОДЗ):

1. \( x > 0 \) (аргумент логарифма).


2. \( \log_{2}{x} > 0 \), что означает \( x > 1 \).


3. \( \log_{2}{x} \) должно быть определено, что верно при \( x > 0 \).

Таким образом, ОДЗ: \( x > 1 \).

Упростим первое слагаемое:

\( 2^{\log_{2}{\log_{2}{x}}} = \log_{2}{x} \)

Второе слагаемое можно переписать, используя свойство логарифмов \( \log_{a^n}{b} = \frac{1}{n} \log_{a}{b} \) и \( \log_{a}{b^m} = m \log_{a}{b} \):

\( \log_{4}^{2}{x} = (\log_{4}{x})^2 = \left( \frac{1}{2} \log_{2}{x} \right)^2 = \frac{1}{4} (\log_{2}{x})^2 \)

Подставим полученные выражения в исходное неравенство:

\( \log_{2}{x} + \frac{1}{4} (\log_{2}{x})^2 - 3 \le 0 \)

Пусть \( y = \log_{2}{x} \). Неравенство примет вид:

\( y + \frac{1}{4} y^2 - 3 \le 0 \)

Умножим на 4, чтобы избавиться от дроби:

\( 4y + y^2 - 12 \le 0 \)

\( y^2 + 4y - 12 \le 0 \)

Найдем корни квадратного уравнения \( y^2 + 4y - 12 = 0 \) с помощью дискриминанта:

\[ D = b^2 - 4ac = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-12) = 16 + 48 = 64 \]
\[ y_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-4 \pm \sqrt{64}}{2} = \frac{-4 \pm 8}{2} \]
\[ y_1 = \frac{-4 + 8}{2} = 2 \]
\[ y_2 = \frac{-4 - 8}{2} = -6 \]

Парабола \( y^2 + 4y - 12 \) направлена ветвями вверх, поэтому неравенство \( y^2 + 4y - 12 \le 0 \) выполняется при \( -6 \le y \le 2 \).

Теперь вернемся к замене \( y = \log_{2}{x} \):

\( -6 \le \log_{2}{x} \le 2 \)

Раскроем логарифм:

\[ 2^{-6} \le x \le 2^2 \]
\[ \frac{1}{64} \le x \le 4 \]

Учитывая ОДЗ \( x > 1 \), получаем пересечение интервалов:

\[ 1 < x \le 4 \]

Ответ: \( (1; 4] \).