Решите неравенство: 2log₁/₂² x − 3 > −5 log₁/₂ x

Пусть y = log₁/₂ x. Тогда неравенство примет вид: 2y² + 5y - 3 > 0.

Найдем корни квадратного уравнения 2y² + 5y - 3 = 0: y₁ = -3, y₂ = 1/2.

Решением неравенства 2y² + 5y - 3 > 0 является y < -3 или y > 1/2.

Подставляем обратно y = log₁/₂ x:

log₁/₂ x < -3 => x > (1/2)⁻³ => x > 8.

log₁/₂ x > 1/2 => x < (1/2)¹/² => x < 1/√2.

Учитывая область определения логарифма (x > 0), получаем решение: (0, 1/√2) ∪ (8, +∞).