Решите неравенство (3-х) (x²+4х-21) ≥ 0.

Решение неравенства \( (3-x)(x^2+4x-21) ≥ 0 \)

Сначала найдем корни уравнения \( (3-x)(x^2+4x-21) = 0 \).

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю:

1. \( 3-x = 0 \) \(\implies\) \( x = 3 \)
2. \( x^2+4x-21 = 0 \)

Решим квадратное уравнение \( x^2+4x-21 = 0 \) через дискриминант:

\( D = b^2 - 4ac = 4^2 - 4(1)(-21) = 16 + 84 = 100 \)

\( \sqrt{D} = \sqrt{100} = 10 \)

\( x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-4 - 10}{2(1)} = \frac{-14}{2} = -7 \)

\( x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-4 + 10}{2(1)} = \frac{6}{2} = 3 \)

Итак, корни уравнения: \( x = 3 \) (кратный корень, так как он получился из обоих множителей) и \( x = -7 \).

Теперь представим эти корни на числовой оси и определим знаки интервалов.

Функция \( y = (3-x)(x^2+4x-21) = -(x-3)(x+7)(x-3) = -(x-3)^2(x+7) \).

Рассмотрим знаки функции на интервалах:

• При \( x < -7 \), например, \( x = -8 \): \( y = -(-8-3)^2(-8+7) = -(11)^2(-1) = -(121)(-1) = 121 > 0 \).
• При \( -7 < x < 3 \), например, \( x = 0 \): \( y = -(0-3)^2(0+7) = -(-3)^2(7) = -(9)(7) = -63 < 0 \).
• При \( x > 3 \), например, \( x = 4 \): \( y = -(4-3)^2(4+7) = -(1)^2(11) = -(1)(11) = -11 < 0 \).

Нас интересуют значения \( y ≥ 0 \). Это происходит на интервале \( (-∞, -7] \).

Обратите внимание, что корень \( x=3 \) является корнем четной кратности (в данном случае 2), поэтому знак функции на интервалах, примыкающих к нему, не меняется. Однако, поскольку нас интересует \( y ≥ 0 \), и \( y(3) = 0 \), то \( x=3 \) также входит в решение.

Таким образом, решение неравенства: \( x ≤ -7 \) или \( x = 3 \).

Ответ: \( (-∞, -7] ∪ {3} \).