Решите неравенство: \(3\log_{5}\left(5+\frac{20}{x-5}\right)\le 9-2\log_{0.2}\left(25-\frac{100}{x-1}\right)\).

ОДЗ: аргументы логарифмов должны быть положительными. Оба аргумента приводятся к выражениям с отношением \(\frac{x-1}{x-5}\), поэтому требуется \(\frac{x-1}{x-5}>0\). Следовательно, \(x<1\) или \(x>5\).

Обозначим \(A=5+\frac{20}{x-5}=\frac{5(x-1)}{x-5}\). Тогда второй аргумент равен \(25-\frac{100}{x-1}=\frac{25(x-5)}{x-1}\), и произведение аргументов равно \(125=5^3\).

Так как \(\log_{0.2}B=-\log_5B\), а \(\log_5B=3-\log_5A\), неравенство равносильно:

\(3\log_5A\le 9+2\log_5B=9+2(3-\log_5A)\),
\(5\log_5A\le15\),
\(A\le125\).

Подставим выражение для \(A\):

\(\frac{5(x-1)}{x-5}\le125\),
\(\frac{6x-31}{x-5}\ge0\).

С учётом ОДЗ и критических точек \(x=5\) и \(x=\frac{31}{6}\) получаем: при \(x<1\) неравенство выполняется; при \(x>5\) оно выполняется для \(x\ge\frac{31}{6}\).

Ответ: \((-+\infty,1)\cup\left[\frac{31}{6},++\infty\right)\).