Решите неравенство (3x-7)² ≥ (7x-3)².

Решение:

Перенесем все члены в одну сторону:

\( (3x-7)^2 - (7x-3)^2 \geq 0 \)

Используем формулу разности квадратов \( a^2 - b^2 = (a-b)(a+b) \), где \( a = (3x-7) \) и \( b = (7x-3) \).

\( ((3x-7) - (7x-3))((3x-7) + (7x-3)) \geq 0 \)

Упростим выражения в скобках:

\( (3x - 7 - 7x + 3)(3x - 7 + 7x - 3) \geq 0 \)

\( (-4x - 4)(10x - 10) \geq 0 \)

Вынесем общие множители:

\( -4(x + 1) \cdot 10(x - 1) \geq 0 \)

\( -40(x + 1)(x - 1) \geq 0 \)

Разделим обе части неравенства на -40, изменив знак неравенства:

\( (x + 1)(x - 1) \leq 0 \)

Найдем корни уравнения \( (x + 1)(x - 1) = 0 \): \( x_1 = -1 \) и \( x_2 = 1 \).

Эти корни разбивают числовую прямую на три интервала: \( (-\infty, -1] \), \( [-1, 1] \), \( [1, \infty) \). Определим знак произведения \( (x+1)(x-1) \) на каждом интервале:

• При \( x < -1 \) (например, \( x = -2 \)): \( (-2+1)(-2-1) = (-1)(-3) = 3 > 0 \).
• При \( -1 < x < 1 \) (например, \( x = 0 \)): \( (0+1)(0-1) = (1)(-1) = -1 < 0 \).
• При \( x > 1 \) (например, \( x = 2 \)): \( (2+1)(2-1) = (3)(1) = 3 > 0 \).

Нам нужно, чтобы произведение было меньше или равно нулю. Это соответствует интервалу \( [-1, 1] \).

Ответ: \( [-1; 1] \).