Решите неравенство 3x(x-5) x+3 ≥ 0.

Решение:

Для решения неравенства \( \frac{3x(x-5)}{x+3} \ge 0 \) найдём корни числителя и знаменателя.

1. Корни числителя:
• \( 3x = 0 \Rightarrow x_1 = 0 \)
• \( x-5 = 0 \Rightarrow x_2 = 5 \)
2. Корень знаменателя:
• \( x+3 = 0 \Rightarrow x_3 = -3 \)
3. Отметим найденные точки на числовой прямой: -3, 0, 5. Эти точки разбивают числовую прямую на четыре интервала:
• \( (-\infty; -3) \)
• \( (-3; 0] \)
• \( [0; 5] \)
• \( [5; +\infty) \)
4. Определим знак выражения \( \frac{3x(x-5)}{x+3} \) на каждом интервале. Для этого возьмём пробную точку из каждого интервала:
• Интервал \( (-\infty; -3) \): Возьмём \( x = -4 \). \( \frac{3(-4)(-4-5)}{-4+3} = \frac{(-12)(-9)}{-1} = \frac{108}{-1} = -108 \) (знак «-»).
• Интервал \( (-3; 0] \): Возьмём \( x = -1 \). \( \frac{3(-1)(-1-5)}{-1+3} = \frac{(-3)(-6)}{2} = \frac{18}{2} = 9 \) (знак «+»).
• Интервал \( [0; 5] \): Возьмём \( x = 1 \). \( \frac{3(1)(1-5)}{1+3} = \frac{3(-4)}{4} = \frac{-12}{4} = -3 \) (знак «-»).
• Интервал \( [5; +\infty) \): Возьмём \( x = 6 \). \( \frac{3(6)(6-5)}{6+3} = \frac{(18)(1)}{9} = \frac{18}{9} = 2 \) (знак «+»).
5. Так как неравенство \( \ge 0 \), нам нужны интервалы, где выражение положительно или равно нулю.
6. Обратите внимание, что \( x = -3 \) не входит в решение, так как на этом значении знаменатель обращается в ноль. Числитель обращается в ноль при \( x = 0 \) и \( x = 5 \), поэтому эти значения включаются в решение.

Ответ: \( x \in (-3; 0] \cup [5; +\infty) \).