Решите неравенство: 4/(x+2) > 3 - x

Решение:

Перенесём все члены неравенства в левую часть:

\[ \frac{4}{x+2} - (3-x) > 0 \]\[ \frac{4}{x+2} - \frac{(3-x)(x+2)}{x+2} > 0 \]\[ \frac{4 - (3x + 6 - x^2 - 2x)}{x+2} > 0 \]\[ \frac{4 - 3x - 6 + x^2 + 2x}{x+2} > 0 \]\[ \frac{x^2 - x - 2}{x+2} > 0 \]

Разложим числитель на множители. Для этого найдём корни уравнения \( x^2 - x - 2 = 0 \):

\[ x = \frac{-(-1) \pm \sqrt{(-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2)}}{2 \cdot 1} = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 8}}{2} = \frac{1 \pm 3}{2} \]\[ x_1 = \frac{1+3}{2} = 2 \]\[ x_2 = \frac{1-3}{2} = -1 \]

Таким образом, числитель можно записать как \( (x-2)(x+1) \).

Теперь неравенство выглядит так:

\[ \frac{(x-2)(x+1)}{x+2} > 0 \]

Критические точки: \( x = 2 \), \( x = -1 \), \( x = -2 \). Отметим их на числовой оси и определим знаки выражений в интервалах:

Интервал 1: \( x < -2 \). Выберем \( x = -3 \). \( \frac{(-3-2)(-3+1)}{-3+2} = \frac{(-5)(-2)}{-1} = -10 < 0 \).

Интервал 2: \( -2 < x < -1 \). Выберем \( x = -1.5 \). \( \frac{(-1.5-2)(-1.5+1)}{-1.5+2} = \frac{(-3.5)(-0.5)}{0.5} = 3.5 > 0 \).

Интервал 3: \( -1 < x < 2 \). Выберем \( x = 0 \). \( \frac{(0-2)(0+1)}{0+2} = \frac{(-2)(1)}{2} = -1 < 0 \).

Интервал 4: \( x > 2 \). Выберем \( x = 3 \). \( \frac{(3-2)(3+1)}{3+2} = \frac{(1)(4)}{5} = 0.8 > 0 \).

Неравенство \( > 0 \) выполняется в интервалах \( (-2; -1) \) и \( (2; +\infty) \).

Ответ: \( (-2; -1) \cup (2; +\infty) \).