Решите неравенство (4-x)(x²+x-20) ≥ 0.

Решение:

1. Разложим квадратный трехчлен на множители:
   x² + x - 20 = 0.
   Найдем корни квадратного уравнения. Дискриминант D = b² - 4ac = 1² - 4(1)(-20) = 1 + 80 = 81.
   x₁ = (-1 - √81) / 2 = (-1 - 9) / 2 = -10 / 2 = -5.
   x₂ = (-1 + √81) / 2 = (-1 + 9) / 2 = 8 / 2 = 4.
   Значит, x² + x - 20 = (x - 4)(x + 5).
2. Перепишем неравенство:
   \[ (4-x)(x-4)(x+5) \ge 0 \]
   \[ -(x-4)(x-4)(x+5) \ge 0 \]
   \[ -(x-4)^2(x+5) \ge 0 \]
   Умножим обе части неравенства на -1 и сменим знак на противоположный:
   \[ (x-4)^2(x+5) \le 0 \]
3. Анализ знаков:
   Выражение (x-4)² всегда неотрицательно (больше или равно нулю).
   Чтобы произведение было неположительным (≤ 0), необходимо, чтобы множитель (x+5) был неположительным (≤ 0), или чтобы (x-4)² = 0.
   1) x + 5 ≤ 0 ⇒ x ≤ -5.
   2) (x-4)² = 0 ⇒ x = 4.
4. Объединим решения:
   x ≤ -5 или x = 4.

Ответ: \[ (-\infty; -5] \cup \{4\} \]