Решите неравенство 81-18x+x² <√2(x-9).

Решение:

1. Перепишем неравенство:
   \[ x^2 - 18x + 81 < \sqrt{2}(x - 9) \]
2. Выделим полный квадрат:
   \[ (x - 9)^2 < \sqrt{2}(x - 9) \]
3. Перенесем все в одну сторону:
   \[ (x - 9)^2 - \sqrt{2}(x - 9) < 0 \]
4. Вынесем общий множитель (x - 9):
   \[ (x - 9) \left( (x - 9) - \sqrt{2} \right) < 0 \]
5. Решим методом интервалов. Найдем корни:
   \[ x - 9 = 0 \quad \Rightarrow \quad x = 9 \]
   \[ x - 9 - \sqrt{2} = 0 \quad \Rightarrow \quad x = 9 + \sqrt{2} \]
6. Нанесем корни на числовую прямую и определим знаки интервалов.
   Интервалы: $$(-\infty, 9)$$, $$(9, 9+\sqrt{2})$$, $$(9+\sqrt{2}, +\infty)$$.
   Проверим знак выражения $$(x - 9)(x - 9 - \sqrt{2})$$:
   При $$x=0$$: $$(-9)(-9-\sqrt{2}) = (+) > 0$$.
   При $$x=9.5$$: $$(0.5)(0.5-\sqrt{2}) = (-) < 0$$.
   При $$x=11$$: $$(2)(2-\sqrt{2}) = (+) > 0$$.
7. Неравенство < 0 выполняется на интервале:
   $$9 < x < 9 + \sqrt{2}$$.

Ответ: $$x \in (9; 9 + \sqrt{2})$$