Решите неравенство 81-18x+x² <√2(x-9).

Привет! Давай разберёмся с этим неравенством шаг за шагом.

1. Перепишем неравенство:

Сначала приведём всё к одному виду. Наша задача — решить:

\[ x^2 - 18x + 81 < \sqrt{2}(x - 9) \]

Левая часть неравенства — это полный квадрат:

\[ (x - 9)^2 < \sqrt{2}(x - 9) \]

2. Перенесём всё в одну сторону:

Чтобы сравнить с нулём, перенесём правую часть влево:

\[ (x - 9)^2 - \sqrt{2}(x - 9) < 0 \]

3. Вынесем общий множитель:

Заметим, что общий множитель здесь — это (x - 9):

\[ (x - 9) \left( (x - 9) - \sqrt{2} \right) < 0 \]

4. Определим корни:

Теперь у нас есть произведение двух множителей, которое должно быть меньше нуля. Это происходит, когда множители имеют разные знаки. Найдем корни каждого множителя:

• Первый корень:

\[ x - 9 = 0 \]

\[ x_1 = 9 \]

• Второй корень:

\[ (x - 9) - \sqrt{2} = 0 \]

\[ x - 9 = \sqrt{2} \]

\[ x_2 = 9 + \sqrt{2} \]

5. Используем метод интервалов:

Нанесём найденные корни на числовую прямую. У нас получилось два интервала:

\[ (-\infty; 9) \quad (9; 9 + \sqrt{2}) \quad (9 + \sqrt{2}; +\infty) \]

Подставим любое значение из каждого интервала в исходное неравенство (x - 9) \(x - 9 - \sqrt{2}\) < 0, чтобы определить знак:

• Интервал \(-\infty; 9\): Возьмём x = 0. (0 - 9) \(0 - 9 - \sqrt{2}\) = (-9) \(-9 - \sqrt{2}\) = (+). Нам нужно < 0, значит, этот интервал не подходит.
• Интервал \(9; 9 + \sqrt{2}\): Возьмём x = 9.1 \(т.к. \sqrt{2} ≈ 1.41\). (9.1 - 9) \(9.1 - 9 - \sqrt{2}\) = (+0.1) \(0.1 - \sqrt{2}\). Поскольку \(\sqrt{2}\) > 0.1, то \(0.1 - \sqrt{2}\) будет отрицательным. В итоге: (+) (-) = (-). Этот интервал подходит.
• Интервал \(9 + \sqrt{2}; +\infty\): Возьмём x = 11. (11 - 9) \(11 - 9 - \sqrt{2}\) = (+2) \(2 - \sqrt{2}\). Поскольку 2 > \(\sqrt{2}\), то \(2 - \sqrt{2}\) будет положительным. В итоге: (+) (+) = (+). Этот интервал не подходит.

6. Запишем ответ:

Неравенство выполняется на интервале \(9; 9 + \sqrt{2}\).

Ответ: \(9; 9 + \sqrt{2}\)