Решите неравенство 81 – 18x+x²< √2 (z-9)

Решение:

Для решения данного неравенства, мы сначала раскроем скобки и перенесем все члены в одну сторону:

\( 81 - 18x + x^2 < \sqrt{2}x - 9\sqrt{2} \)

Перенесем все в левую часть:

\( x^2 - 18x - \sqrt{2}x + 81 + 9\sqrt{2} < 0 \)

Сгруппируем члены с \(x\):

\( x^2 - (18 + \sqrt{2})x + (81 + 9\sqrt{2}) < 0 \)

Это квадратное неравенство вида \( ax^2 + bx + c < 0 \), где \( a = 1 \), \( b = -(18 + \sqrt{2}) \), \( c = 81 + 9\sqrt{2} \).

Найдем дискриминант:

\[ D = b^2 - 4ac = (-(18 + \sqrt{2}))^2 - 4 \cdot 1 \cdot (81 + 9\sqrt{2}) \]

\[ D = (18^2 + 2 \cdot 18 \cdot \sqrt{2} + (\sqrt{2})^2) - 324 - 36\sqrt{2} \]

\[ D = (324 + 36\sqrt{2} + 2) - 324 - 36\sqrt{2} \]

\[ D = 324 + 36\sqrt{2} + 2 - 324 - 36\sqrt{2} \]

\[ D = 2 \]

Так как \( D > 0 \), у нас есть два действительных корня.

Найдем корни по формуле \( x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \):

\[ x_1 = \frac{18 + \sqrt{2} + \sqrt{2}}{2 \cdot 1} = \frac{18 + 2\sqrt{2}}{2} = 9 + \sqrt{2} \]

\[ x_2 = \frac{18 + \sqrt{2} - \sqrt{2}}{2 \cdot 1} = \frac{18}{2} = 9 \]

Теперь определим интервалы, на которых неравенство выполняется. Так как парабола \( y = x^2 - (18 + \sqrt{2})x + (81 + 9\sqrt{2}) \) направлена ветвями вверх (коэффициент \(a = 1 > 0\)), то неравенство \( < 0 \) выполняется между корнями.

Значит, интервал решения:

\[ 9 < x < 9 + \sqrt{2} \]

Примечание: В исходном условии использована переменная 'z', которая, вероятно, является опечаткой и должна быть 'x'. Расчет произведен с переменной 'x'.

Ответ: \( 9 < x < 9 + \sqrt{2} \).