Решите неравенство $$9^{x^2-2x} - 4 · 3^{x^2+3} + 3^{4x+7} ≥ 0.$$

Решение:

Заметим, что $$9^{x^2-2x} = (3^2)^{x^2-2x} = 3^{2(x^2-2x)} = 3^{2x^2-4x}$$.

Перепишем исходное неравенство:

\[ 3^{2x^2-4x} - 4 · 3^{x^2+3} + 3^{4x+7} ≥ 0 \]\[ 3^{2x^2-4x} - 4 · 3^{x^2} · 3^3 + 3^{4x} · 3^7 ≥ 0 \]\[ 3^{2x^2-4x} - 4 · 27 · 3^{x^2} + 3^{4x} · 2187 ≥ 0 \]\[ 3^{2x^2-4x} - 108 · 3^{x^2} + 2187 · 3^{4x} ≥ 0 \]

Это выглядит очень сложно. Попробуем заменить переменную.

Пусть $$y = 3^{x^2-2x}$$. Тогда $$y^2 = (3^{x^2-2x})^2 = 3^{2x^2-4x}$$.

Однако, второе и третье слагаемые не выражаются просто через $$y$$.

Рассмотрим внимательно степени:

• $$9^{x^2-2x} = (3^2)^{x^2-2x} = 3^{2x^2-4x}$$
• $$-4 · 3^{x^2+3} = -4 · 3^{x^2} · 3^3 = -108 · 3^{x^2}$$
• $$3^{4x+7} = 3^{4x} · 3^7 = 2187 · 3^{4x}$$

Перепишем неравенство:

\[ 3^{2x^2-4x} - 108 · 3^{x^2} + 2187 · 3^{4x} ≥ 0 \]

Это не сводится к простому квадратному уравнению. Возможно, есть ошибка в записи условия или в моем понимании. Попробуем другую замену.

Заметим, что $$9^{x^2-2x} = (3^{x^2-2x})^2$$.

Возможно, следует попробовать разложить на множители, используя свойства степеней.

Рассмотрим выражение:

\[ 9^{x^2-2x} - 4 · 3^{x^2+3} + 3^{4x+7} ≥ 0 \]

Попробуем сделать замену $$t = 3^{x^2}$$. Тогда:

\[ (3^{x^2})^2 · 3^{-4x} - 4 · 3^{x^2} · 3^3 + 3^{4x} · 3^7 ≥ 0 \] \[ t^2 · \frac{1}{3^{4x}} - 108 t + 2187 · 3^{4x} ≥ 0 \]

Это тоже не упрощает задачу.

Предполагая, что в условии была опечатка и имелось в виду:

$$9^x - 4 · 3^x + 3 ≥ 0$$

Пусть $$y = 3^x$$. Тогда $$y^2 - 4y + 3 ≥ 0$$.

Найдём корни уравнения $$y^2 - 4y + 3 = 0$$.

Дискриминант $$D = (-4)^2 - 4 · 1 · 3 = 16 - 12 = 4$$.

$$y_1 = \frac{4 - √4}{2} = \frac{4-2}{2} = 1$$.

$$y_2 = \frac{4 + √4}{2} = \frac{4+2}{2} = 3$$.

Следовательно, $$y^2 - 4y + 3 ≥ 0$$ при $$y ≤ 1$$ или $$y ≥ 3$$.

Подставляем обратно $$y = 3^x$$:

• $$3^x ≤ 1 → 3^x ≤ 3^0 → x ≤ 0$$.
• $$3^x ≥ 3 → 3^x ≥ 3^1 → x ≥ 1$$.

Ответ (при предположении об опечатке): $$x ≤ 0$$ или $$x ≥ 1$$.

Если же условие задачи верно:

$$9^{x^2-2x} - 4 · 3^{x^2+3} + 3^{4x+7} ≥ 0$$

Перепишем:

\[ (3^2)^{x^2-2x} - 4 · 3^{x^2} · 3^3 + 3^{4x} · 3^7 ≥ 0 \] \[ 3^{2x^2-4x} - 108 · 3^{x^2} + 2187 · 3^{4x} ≥ 0 \]

Это неравенство не решается стандартными методами для показательных неравенств. Скорее всего, в условии задачи опечатка.

Однако, если предположить, что имелось в виду:

\[ (3^{x^2-2x})^2 - 4 · 3^{x^2-2x} · 3^3 + 3^{4x+7} ≥ 0 \]

Это тоже не верно.

Рассмотрим вариант, где $$3^{x^2-2x}$$ и $$3^{x^2}$$ могут быть связаны.

$$9^{x^2-2x} = 3^{2x^2-4x}$$

$$3^{x^2+3} = 3^{x^2} · 27$$

$$3^{4x+7} = 3^{4x} · 3^7$$

Условие: $$3^{2x^2-4x} - 4 · 3^{x^2+3} + 3^{4x+7} ≥ 0$$.

Очень вероятно, что в задаче ошибка.

Если предположить, что степень $$x^2+3$$ должна быть $$x^2-2x+k$$ и $$4x+7$$ должна быть $$2(x^2-2x)+m$$.

Примем, что в условии была опечатка и оно выглядит как:

$$9^{x^2 - 2x} - 4 · 3^{x^2 - 2x + 3} + 3^{2(x^2 - 2x) + 7} ≥ 0$$

Это не упрощает.

Рассмотрим, если $$4 · 3^{x^2+3}$$ - это $$4 · 3^{x^2-2x+3}$$

Пусть $$y = 3^{x^2-2x}$$. Тогда $$y^2 = 3^{2x^2-4x} = 9^{x^2-2x}$$.

Неравенство:

\[ y^2 - 4 · 3^{(x^2-2x)+3} + 3^{4x+7} ≥ 0 \] \[ y^2 - 4 · y · 3^3 + 3^{4x+7} ≥ 0 \] \[ y^2 - 108y + 3^{4x+7} ≥ 0 \]

Не решается.

Еще одна попытка интерпретации:

Пусть $$a = 3^{x^2-2x}$$, $$b = 3^{x^2}$$, $$c = 3^{4x}$$.

Неравенство: $$a^2 - 4 · b · 27 + c · 2187 ≥ 0$$

Если предположить, что $$x^2-2x$$ является некоторой величиной $$u$$.

$$9^u - 4 · 3^{u+2x+3} + 3^{4x+7} ≥ 0$$

Наиболее вероятная опечатка — когда степени выражаются через одну переменную.

Предположим, что условие выглядит так:

$$9^{x^2-2x} - 4 · 3^{x^2-2x+3} + 3^{2(x^2-2x)+7} ≥ 0$$

Пусть $$y = 3^{x^2-2x}$$.

$$y^2 - 4 · y · 3^3 + (3^{x^2-2x})^2 · 3^7 ≥ 0$$

$$y^2 - 108y + y^2 · 2187 ≥ 0$$

$$y^2 (1+2187) - 108y ≥ 0$$

$$2188y^2 - 108y ≥ 0$$

$$y(2188y - 108) ≥ 0$$

Так как $$y = 3^{x^2-2x} > 0$$, то $$2188y - 108 ≥ 0 → y ≥ \frac{108}{2188} = \frac{27}{547}$$.

$$3^{x^2-2x} ≥ \frac{27}{547}$$

$$x^2-2x ≥ \text{log}_3(\frac{27}{547})$$

$$x^2-2x ≥ \text{log}_3(27) - \text{log}_3(547)$$

$$x^2-2x ≥ 3 - \text{log}_3(547)$$

Это не похоже на стандартную задачу.

Наиболее вероятный вариант — ошибка в степени $$3^{x^2+3}$$ и $$3^{4x+7}$$.

Если предположить, что неравенство имело вид:

$$9^{x^2-2x} - 4 · 3^{x^2} · 3^3 + 3^{2x^2} · 3^7 ≥ 0$$

Вернемся к первому предположению, что задача $$3^{2x} - 4 · 3^x + 3 ≥ 0$$.

Решение этой задачи:

Пусть $$y = 3^x$$. Тогда $$y^2 - 4y + 3 ≥ 0$$.

Корни квадратного трехчлена $$y^2 - 4y + 3$$: $$y=1$$ и $$y=3$$.

Неравенство выполняется, когда $$y ≤ 1$$ или $$y ≥ 3$$.

Подставляем $$y = 3^x$$:

• $$3^x ≤ 1 → 3^x ≤ 3^0 → x ≤ 0$$.
• $$3^x ≥ 3 → 3^x ≥ 3^1 → x ≥ 1$$.

Ответ (при предположении об опечатке): $$x ≤ 0$$ или $$x ≥ 1$$.

Если же задача написана верно, то она не решается стандартными методами.

Давайте внимательно посмотрим на степени:

$$9^{x^2-2x} = 3^{2(x^2-2x)} = 3^{2x^2-4x}$$

$$-4 · 3^{x^2+3} = -108 · 3^{x^2}$$

$$3^{4x+7} = 2187 · 3^{4x}$$

Исходное неравенство:

\[ 3^{2x^2-4x} - 108 · 3^{x^2} + 2187 · 3^{4x} ≥ 0 \]

Заметим, что $$3^{2x^2-4x} = (3^{x^2})^2 · 3^{-4x}$$.

Пусть $$a = 3^{x^2}$$ и $$b = 3^{4x}$$.

Тогда: $$\frac{a^2}{b} - 108a + 2187b ≥ 0$$.

Умножим на $$b$$ (так как $$b > 0$$): $$a^2 - 108ab + 2187b^2 ≥ 0$$.

Разделим на $$b^2$$: $$(\frac{a}{b})^2 - 108(\frac{a}{b}) + 2187 ≥ 0$$.

Пусть $$t = \frac{a}{b} = \frac{3^{x^2}}{3^{4x}} = 3^{x^2-4x}$$.

Тогда $$t^2 - 108t + 2187 ≥ 0$$.

Решим квадратное уравнение $$t^2 - 108t + 2187 = 0$$.

Дискриминант $$D = (-108)^2 - 4 · 1 · 2187 = 11664 - 8748 = 2916$$.

$$√ D = √ 2916 = 54$$.

$$t_1 = \frac{108 - 54}{2} = \frac{54}{2} = 27$$.

$$t_2 = \frac{108 + 54}{2} = \frac{162}{2} = 81$$.

Неравенство $$t^2 - 108t + 2187 ≥ 0$$ выполняется при $$t ≤ 27$$ или $$t ≥ 81$$.

Подставим $$t = 3^{x^2-4x}$$:

• $$3^{x^2-4x} ≤ 27 → 3^{x^2-4x} ≤ 3^3 → x^2-4x ≤ 3 → x^2-4x-3 ≤ 0$$.
• $$3^{x^2-4x} ≥ 81 → 3^{x^2-4x} ≥ 3^4 → x^2-4x ≥ 4 → x^2-4x-4 ≥ 0$$.

Решим неравенство $$x^2-4x-3 ≤ 0$$.

Корни уравнения $$x^2-4x-3=0$$:

$$x = \frac{4 ± √{16 - 4(1)(-3)}}{2} = \frac{4 ± √{16+12}}{2} = \frac{4 ± √{28}}{2} = \frac{4 ± 2√{7}}{2} = 2 ± √{7}$$.

Таким образом, $$2-√{7} ≤ x ≤ 2+√{7}$$.

Решим неравенство $$x^2-4x-4 ≥ 0$$.

Корни уравнения $$x^2-4x-4=0$$:

$$x = \frac{4 ± √{16 - 4(1)(-4)}}{2} = \frac{4 ± √{16+16}}{2} = \frac{4 ± √{32}}{2} = \frac{4 ± 4√{2}}{2} = 2 ± 2√{2}$$.

Таким образом, $$x ≤ 2-2√{2}$$ или $$x ≥ 2+2√{2}$$.

Объединим решения:

$$x ≤ 2-2√{2}$$ или $$2-√{7} ≤ x ≤ 2+√{7}$$ или $$x ≥ 2+2√{2}$$.

Заметим, что $$2√{2} = √{8}$$ и $$√{7}$$. Так как $$√{8} > √{7}$$, то $$2-2√{2} < 2-√{7}$$.

Значит, решением является:

$$(-∞, 2-2√{2}] ∪ [2-√{7}, 2+√{7}] ∪ [2+2√{2}, +∞)$$.

Ответ: $$x ≤ 2-2√{2}$$ или $$2-√{7} ≤ x ≤ 2+√{7}$$ или $$x ≥ 2+2√{2}$$.