1. Решите неравенство: а) \(\frac{1}{3}x \le 5\); б) \(-4x > 6\); в) \(4(x-7) - 2(x+3) < 9\). 2. При каких значениях y значение дроби \(\frac{x-y}{3}\) больше соответствующего значения дроби \(\frac{9-y}{6}\)? 3. Решите систему неравенств: \(\begin{cases}6-2x > 3(x-3) \\ 1-x < 2x\end{cases}\). 4. При каких значениях переменной x имеет смысл выражение \(\sqrt{2x-7}\)?

1. Решение неравенств:

• а) \(\frac{1}{3}x \le 5\)
  1. Умножаем обе части на 3: \(x \le 15\)
• б) \(-4x > 6\)
  1. Делим обе части на -4 (знак меняется): \(x < -\frac{6}{4}\)
  2. Упрощаем: \(x < -\frac{3}{2}\)
  3. \(x < -1.5\)
• в) \(4(x-7) - 2(x+3) < 9\)
  1. Раскрываем скобки: \(4x - 28 - 2x - 6 < 9\)
  2. Упрощаем: \(2x - 34 < 9\)
  3. Переносим -34 вправо: \(2x < 43\)
  4. Делим на 2: \(x < \frac{43}{2}\)
  5. \(x < 21.5\)

Ответ: а) \(x \le 15\); б) \(x < -1.5\); в) \(x < 21.5\)

2. Решение неравенства с дробями:

• Исходное неравенство: \(\frac{x-y}{3} > \frac{9-y}{6}\)
• Умножаем обе части на 6 (общий знаменатель): \(2(x-y) > 9-y\)
• Раскрываем скобки: \(2x - 2y > 9 - y\)
• Переносим -2y вправо, а 9 влево: \(2x - 9 > y\)
• Или: \(y < 2x - 9\)

Ответ: \(y < 2x - 9\)

3. Решение системы неравенств:

• \(\begin{cases}6-2x > 3(x-3) \\ 1-x < 2x\end{cases}\)
• Решаем первое неравенство:
1. Раскрываем скобки: \(6 - 2x > 3x - 9\)
2. Переносим -2x вправо, а -9 влево: \(15 > 5x\)
3. Делим на 5: \(3 > x\) или \(x < 3\)
• Решаем второе неравенство:
1. Переносим -x вправо: \(1 < 3x\)
2. Делим на 3: \(\frac{1}{3} < x\) или \(x > \frac{1}{3}\)

Решение системы: \(\frac{1}{3} < x < 3\)

4. Область определения выражения:

• \(\sqrt{2x-7}\) имеет смысл, если \(2x - 7 \ge 0\)
• Переносим -7 вправо: \(2x \ge 7\)
• Делим на 2: \(x \ge \frac{7}{2}\)
• \(x \ge 3.5\)

Ответ: \(x \ge 3.5\)