Алгебра
Английский
Биология
География
Геометрия
История
Русский
Обществознание
Физика
Химия
Информатика
Литература
МатематикаРешите неравенство: 01407, a) 2^(2x+1) - 5 * 2^(x+2) + 2 >= 0; 6) 3^(2x+1) - 10 * 3^x + 3 < 0; 01408. a) 3^x < 5^x; 6) 6^x >= 2^x; 01409. a) 5^x <= -x + 6; 6) (1/4)^x > 3x + 1; 01410. a) 19^((2x-3)/(x+2)) >= 1; б) 0,36^((7x+1)/(2-x)) < 1; 01411. a) 5^x/(x+3) <= 5; б) (4/9)^((2x-1)/(3x+5)) > 4/9; 01412. a) 3^((x-4)/(x)) < 1/27; б) (8/9)^((6x-1)/(x+1)) >= 81/64; 01413. a) 4^x * (3/8)^x <= 2,25; б) 9^x * (1/18)^x > 0,25; 01414. Сколько натуральных чисел являются решениями неравенства: а) 1/64 < 8^(-2x+3) < 512; б) 1/27 < (1/9)^(7-x) < 243?
Ответ:
01407
a) \( 2^{2x+1} - 5 \cdot 2^{x+2} + 2 \ge 0 \)
Пусть \( t = 2^x \), тогда неравенство примет вид:
\( 2t^2 - 20t + 2 \ge 0 \)
\( t^2 - 10t + 1 \ge 0 \)
Решаем квадратное уравнение \( t^2 - 10t + 1 = 0 \):
\( D = (-10)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 100 - 4 = 96 \)
\( t_1 = \frac{10 - \sqrt{96}}{2} = 5 - 2\sqrt{6} \approx 0.101 \)
\( t_2 = \frac{10 + \sqrt{96}}{2} = 5 + 2\sqrt{6} \approx 9.899 \)
Тогда решение неравенства:
\( t \le 5 - 2\sqrt{6} \quad \text{или} \quad t \ge 5 + 2\sqrt{6} \)
Возвращаемся к замене:
\( 2^x \le 5 - 2\sqrt{6} \quad \text{или} \quad 2^x \ge 5 + 2\sqrt{6} \)
\( x \le \log_2(5 - 2\sqrt{6}) \quad \text{или} \quad x \ge \log_2(5 + 2\sqrt{6}) \)
б) \( 3^{2x+1} - 10 \cdot 3^x + 3 < 0 \)
Пусть \( t = 3^x \), тогда неравенство примет вид:
\( 3t^2 - 10t + 3 < 0 \)
Решаем квадратное уравнение \( 3t^2 - 10t + 3 = 0 \):
\( D = (-10)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 3 = 100 - 36 = 64 \)
\( t_1 = \frac{10 - 8}{6} = \frac{1}{3} \)
\( t_2 = \frac{10 + 8}{6} = 3 \)
Тогда решение неравенства:
\( \frac{1}{3} < t < 3 \)
Возвращаемся к замене:
\( \frac{1}{3} < 3^x < 3 \)
\( 3^{-1} < 3^x < 3^1 \)
\( -1 < x < 1 \)
01408
a) \( 3^x < 5^x \)
\( \left(\frac{3}{5}\right)^x < 1 \)
\( \left(\frac{3}{5}\right)^x < \left(\frac{3}{5}\right)^0 \)
Так как \( \frac{3}{5} < 1 \), то функция убывает, и знак неравенства меняется:
\( x > 0 \)
б) \( 6^x \ge 2^x \)
\( (3 \cdot 2)^x \ge 2^x \)
\( 3^x \cdot 2^x \ge 2^x \)
\( 3^x \ge 1 \)
\( 3^x \ge 3^0 \)
\( x \ge 0 \)
01409
a) \( 5^x \le -x + 6 \)
Решением является \( x = 1 \), так как \( 5^1 = 5 \le -1 + 6 = 5 \).
б) \( \left(\frac{1}{4}\right)^x > 3x + 1 \)
Решением является \( x = 0 \), так как \( \left(\frac{1}{4}\right)^0 = 1 > 3 \cdot 0 + 1 = 1 \), но строго больше не выполняется. \( x < 0 \)
01410
a) \( 19^{\frac{2x-3}{x+2}} \ge 1 \)
\( 19^{\frac{2x-3}{x+2}} \ge 19^0 \)
\( \frac{2x-3}{x+2} \ge 0 \)
Решаем методом интервалов:
\( x \in (-\infty; -2) \cup [1.5; +\infty) \)
б) \( 0.36^{\frac{7x+1}{2-x}} < 1 \)
\( 0.36^{\frac{7x+1}{2-x}} < 0.36^0 \)
Так как \( 0.36 < 1 \), то функция убывает, и знак неравенства меняется:
\( \frac{7x+1}{2-x} > 0 \)
Решаем методом интервалов:
\( x \in (-0.143; 2) \)
01411
a) \( \frac{5^x}{x+3} \le 5 \)
\( 5^x \le 5(x+3) \)
При \( x = 4: \quad 5^4 = 625 \le 5(4+3) = 35 \) - неверно.
Графически можно найти приближенные решения.
б) \( \left(\frac{4}{9}\right)^{\frac{2x-1}{3x+5}} > \frac{4}{9} \)
\( \left(\frac{4}{9}\right)^{\frac{2x-1}{3x+5}} > \left(\frac{4}{9}\right)^1 \)
Так как \( \frac{4}{9} < 1 \), то функция убывает, и знак неравенства меняется:
\( \frac{2x-1}{3x+5} < 1 \)
\( \frac{2x-1}{3x+5} - 1 < 0 \)
\( \frac{2x-1 - (3x+5)}{3x+5} < 0 \)
\( \frac{-x-6}{3x+5} < 0 \)
\( \frac{x+6}{3x+5} > 0 \)
Решаем методом интервалов:
\( x \in (-\infty; -6) \cup (-1.667; +\infty) \)
01412
a) \( 3^{\frac{x-4}{x}} < \frac{1}{27} \)
\( 3^{\frac{x-4}{x}} < 3^{-3} \)
\( \frac{x-4}{x} < -3 \)
\( \frac{x-4}{x} + 3 < 0 \)
\( \frac{x-4 + 3x}{x} < 0 \)
\( \frac{4x-4}{x} < 0 \)
\( \frac{x-1}{x} < 0 \)
Решаем методом интервалов:
\( x \in (0; 1) \)
б) \( \left(\frac{8}{9}\right)^{\frac{6x-1}{x+1}} \ge \frac{81}{64} \)
\( \left(\frac{8}{9}\right)^{\frac{6x-1}{x+1}} \ge \left(\frac{9}{8}\right)^2 \)
\( \left(\frac{8}{9}\right)^{\frac{6x-1}{x+1}} \ge \left(\frac{8}{9}\right)^{-2} \)
Так как \( \frac{8}{9} < 1 \), то функция убывает, и знак неравенства меняется:
\( \frac{6x-1}{x+1} \le -2 \)
\( \frac{6x-1}{x+1} + 2 \le 0 \)
\( \frac{6x-1 + 2(x+1)}{x+1} \le 0 \)
\( \frac{8x+1}{x+1} \le 0 \)
Решаем методом интервалов:
\( x \in (-1; -0.125] \)
01413
a) \( 4^x \cdot \left(\frac{3}{8}\right)^x \le 2.25 \)
\( \left(4 \cdot \frac{3}{8}\right)^x \le 2.25 \)
\( \left(\frac{3}{2}\right)^x \le \frac{9}{4} \)
\( \left(\frac{3}{2}\right)^x \le \left(\frac{3}{2}\right)^2 \)
\( x \le 2 \)
б) \( 9^x \cdot \left(\frac{1}{18}\right)^x > 0.25 \)
\( \left(9 \cdot \frac{1}{18}\right)^x > 0.25 \)
\( \left(\frac{1}{2}\right)^x > \frac{1}{4} \)
\( \left(\frac{1}{2}\right)^x > \left(\frac{1}{2}\right)^2 \)
Так как \( \frac{1}{2} < 1 \), то функция убывает, и знак неравенства меняется:
\( x < 2 \)
01414
a) \( \frac{1}{64} < 8^{-2x+3} < 512 \)
\( 8^{-2} < 8^{-2x+3} < 8^3 \)
\( -2 < -2x+3 < 3 \)
Решаем двойное неравенство:
\( -2 < -2x+3 \quad \text{и} \quad -2x+3 < 3 \)
\( 2x < 5 \quad \text{и} \quad -2x < 0 \)
\( x < 2.5 \quad \text{и} \quad x > 0 \)
Натуральные числа: 1, 2. Итого 2 числа.
б) \( \frac{1}{27} < \left(\frac{1}{9}\right)^{7-x} < 243 \)
\( 3^{-3} < \left(3^{-2}\right)^{7-x} < 3^5 \)
\( 3^{-3} < 3^{-14+2x} < 3^5 \)
\( -3 < -14+2x < 5 \)
Решаем двойное неравенство:
\( -3 < -14+2x \quad \text{и} \quad -14+2x < 5 \)
\( 11 < 2x \quad \text{и} \quad 2x < 19 \)
\( x > 5.5 \quad \text{и} \quad x < 9.5 \)
Натуральные числа: 6, 7, 8, 9. Итого 4 числа.
