Решите неравенство: а) |√(x + 1) − 1| > −2; б) |4x + 1| ≥ 3; в) |x² − 4| ≤ 3x; г) |x + 1| < |x − 3|; а) |4 − √(x − 2)| > −5; б) |4x − 3| ≤ 1; в) |x² − 2x| ≥ x; г) |x + 2| < |x − 4|.

а) Область определения: \(x\ge-1\). Модуль неотрицателен, поэтому неравенство с правой частью \(-2\) верно при всех допустимых \(x\). Ответ: \([-1;+\infty)\).

б) \(|4x+1|\ge3\) означает \(4x+1\le-3\) или \(4x+1\ge3\). Отсюда \(x\le-1\) или \(x\ge\frac12\). Ответ: \((-+\infty;-1]\cup[\frac12;+\infty)\).

в) Так как \(|x^2-4|\ge0\), необходимо \(3x\ge0\), то есть \(x\ge0\). Далее \(-3x\le x^2-4\le3x\). Левая часть даёт \((x+4)(x-1)\ge0\), откуда при \(x\ge0\): \(x\ge1\). Правая часть даёт \((x-4)(x+1)\le0\), то есть \(-1\le x\le4\). Пересечение: \([1;4]\).

г) Неравенство сравнивает расстояния от \(x\) до точек \(-1\) и \(3\). До \(-1\) расстояние меньше слева от середины \(1\), поэтому \(x<1\). Ответ: \((-+\infty;1)\).

а) Область определения: \(x\ge2\). Модуль неотрицателен, значит он всегда больше \(-5\). Ответ: \([2;+\infty)\).

б) \(|4x-3|\le1\) равносильно \(-1\le4x-3\le1\). Следовательно, \(2\le4x\le4\), откуда \(\frac12\le x\le1\). Ответ: \([\frac12;1]\).

в) При \(x<0\) неравенство верно, поскольку модуль неотрицателен, а правая часть отрицательна. При \(x\ge0\) получаем \(|x(x-2)|\ge x\). Для \(x=0\) неравенство верно; при \(x>0\) делим на \(x\): \(|x-2|\ge1\), откуда \(x\le1\) или \(x\ge3\). Ответ: \((-+\infty;1]\cup[3;+\infty)\).

г) Сравниваются расстояния до точек \(-2\) и \(4\). Их середина — \(1\), и расстояние до \(-2\) меньше при \(x<1\). Ответ: \((-+\infty;1)\).