Решите неравенство: \(\cos 7x-\sqrt{3}\sin 7x\le -\sqrt{2}\), если \(x\in\left[\frac{2\pi}{5};\frac{6pi}{7}\right]\).

Представим левую часть в виде одной тригонометрической функции:

\[\cos 7x-\sqrt{3}\sin 7x=2\left(\frac12\cos 7x-\frac{\sqrt3}{2}\sin 7x\right)=2\cos\left(7x+\frac{\pi}{3}\right).\]

Тогда неравенство принимает вид:

\[2\cos\left(7x+\frac{\pi}{3}\right)\le-\sqrt2,\]

\[\cos\left(7x+\frac{\pi}{3}\right)\le-\frac{\sqrt2}{2}.\]

Следовательно,

\[7x+\frac{\pi}{3}\in\left[\frac{3\pi}{4}+2\pi k;\frac{5\pi}{4}+2\pi k\right],\quad k\in\mathbb Z.\]

Отсюда

\[x\in\left[\frac{5\pi}{84}+\frac{2\pi k}{7};\frac{11\pi}{84}+\frac{2\pi k}{7}\right].\]

Пересекаем с заданным промежутком \(\left[\frac{2\pi}{5};\frac{6\pi}{7}\right]\). Подходящие значения \(k\): \(k=2,3\).

При \(k=2\): \(x\in\left[\frac{53\pi}{84};\frac{59\pi}{84}\right]\).

При \(k=3\): \(x\in\left[\frac{77\pi}{84};\frac{83\pi}{84}\right]\), но этот промежуток не пересекается с \(\left[\frac{2\pi}{5};\frac{6\pi}{7}\right]\).

Ответ: \(x\in\left[\frac{53\pi}{84};\frac{59\pi}{84}\right]\).