Решите неравенство: \(\dfrac{x^3-7x^2+4x+12}{x^2-7x+12}\ge x+1\).

Область допустимых значений: знаменатель не должен быть равен нулю, поэтому \(x\ne3\), \(x\ne4\).

Перенесём правую часть влево и приведём к общей дроби:

\[\frac{x^3-7x^2+4x+12-(x+1)(x^2-7x+12)}{x^2-7x+12}\ge0.\]

После упрощения получаем:

\[\frac{-x(x+1)}{(x-3)(x-4)}\ge0.\]

Критические точки: \(-1\), \(0\), \(3\), \(4\). По знакам дроби она неотрицательна на промежутках \([-1,0]\) и \((3,4)\). Точки \(3\) и \(4\) исключены из ОДЗ.

Ответ: \([-1,0]\cup(3,4)\).