Решите неравенство f'(x) > 0, если: а) f(x) = 8x − x² − x³/3; б) f(x) = x/(x + 2).

а)

Найдём производную: \(f'(x)=8-2x-x^2\).

Решаем неравенство:

\(8-2x-x^2>0\);
\(x^2+2x-8<0\);
\((x+4)(x-2)<0\).

Произведение отрицательно между корнями: \(-4<x<2\).

Ответ: \(x\in(-4;2)\).

б)

Область определения: \(x\ne-2\).

\(f'(x)=\left(\frac{x}{x+2}\right)'=\frac{x+2-x}{(x+2)^2}=\frac{2}{(x+2)^2}\).

При \(x\ne-2\) значение производной положительно, поэтому

Ответ: \(x\in(-\infty;-2)\cup(-2;+\infty)\).