Решите неравенство: $$\frac{1}{3^x + 21} + \frac{1}{3^x - 27} \ge 0$$

Решение:

Обозначим \( y = 3^x \). Тогда неравенство примет вид:

\[ \frac{1}{y + 21} + \frac{1}{y - 27} \ge 0 \]

Приведём к общему знаменателю:

\[ \frac{(y - 27) + (y + 21)}{(y + 21)(y - 27)} \ge 0 \]

\[ \frac{2y - 6}{(y + 21)(y - 27)} \ge 0 \]

Разделим числитель и знаменатель на 2:

\[ \frac{y - 3}{(y + 21)(y - 27)} \ge 0 \]

Рассмотрим знаки числителя и знаменателя. Корни числителя и знаменателя: \( y = 3, y = -21, y = 27 \).

Нанесём корни на числовую ось и определим знаки выражения:

• При \( y > 27 \): \( \frac{+}{+ · +} = + \).
• При \( 3 \le y < 27 \): \( \frac{+}{+ · -} = - \).
• При \( -21 < y < 3 \): \( \frac{-}{+ · -} = + \).
• При \( y < -21 \): \( \frac{-}{- · -} = - \).

Неравенство \( \ge 0 \) выполняется при \( -21 < y \le 3 \) или \( y > 27 \).

Подставим обратно \( y = 3^x \):

• \( -21 < 3^x \le 3 \). Так как \( 3^x \) всегда больше 0, первое условие \( -21 < 3^x \) выполняется всегда. Следовательно, \( 3^x \le 3 \). Так как \( 3 = 3^1 \), то \( x \le 1 \).
• \( 3^x > 27 \). Так как \( 27 = 3^3 \), то \( x > 3 \).

Объединяя полученные решения, получаем \( x \le 1 \) или \( x > 3 \).

Ответ: \( x \in (-\infty; 1] \cup (3; +\infty) \).