Решите неравенство: \( (\frac{1}{9})^{3-0,5x^2} \le 27 \)

Решение:

Данное неравенство имеет вид \( (\frac{1}{9})^{3-0,5x^2} \le 27 \).

1. Представим числа в виде степеней тройки: \( \frac{1}{9} = 9^{-1} = (3^2)^{-1} = 3^{-2} \) и \( 27 = 3^3 \).
2. Подставим полученные выражения в неравенство: \( (3^{-2})^{3-0,5x^2} \le 3^3 \).
3. Упростим левую часть, используя свойство степеней \( (a^m)^n = a^{m \cdot n} \): \( 3^{-2(3-0,5x^2)} \le 3^3 \).
4. Раскроем скобки в показателе степени: \( 3^{-6+x^2} \le 3^3 \).
5. Так как основание степени \( 3 > 1 \), при переходе от степени к показателю знак неравенства сохраняется: \( -6+x^2 \le 3 \).
6. Решим полученное квадратное неравенство: \( x^2 \le 3+6 \) \( x^2 \le 9 \).
7. Извлечём квадратный корень из обеих частей, учитывая, что \( x^2 \le 9 \) означает, что \( x \) находится между \( -3 \) и \( 3 \) включительно: \( -3 \le x \le 3 \).

Ответ: \( [-3; 3] \).