Решите неравенство: \(\frac{1}{x} \ge \frac{1}{x-3}\)

Решение:

Перенесём всё в одну часть и приведём к общему знаменателю:

\[ \frac{1}{x} - \frac{1}{x-3} \ge 0 \]\[ \frac{(x-3) - x}{x(x-3)} \ge 0 \]\[ \frac{-3}{x(x-3)} \ge 0 \]

Чтобы дробь была больше или равна нулю, при числителе -3, знаменатель должен быть отрицательным:

\( x(x-3) < 0 \)

Это парабола ветвями вверх, корни которой \( x = 0 \) и \( x = 3 \). Отрицательные значения парабола принимает между корнями.

Следовательно, \( 0 < x < 3 \).

Важно: знаменатель не может быть равен нулю, поэтому \( x \ne 0 \) и \( x \ne 3 \).

Ответ: \( (0; 3) \).