Решите неравенство: \(\frac{1}{x} \ge \frac{1}{x-5}\)

Решение:

1. Перенесём всё в левую часть неравенства:
   \( \frac{1}{x} - \frac{1}{x-5} \ge 0 \)
2. Приведём дроби к общему знаменателю:
   \( \frac{x-5 - x}{x(x-5)} \ge 0 \)
3. Упростим числитель:
   \( \frac{-5}{x(x-5)} \ge 0 \)
4. Чтобы дробь была неотрицательной, а числитель отрицательным, знаменатель должен быть отрицательным:
   \( x(x-5) < 0 \)
5. Решим это неравенство методом интервалов. Корни: \( x=0 \) и \( x=5 \).
   Разместим корни на числовой прямой и определим знаки интервалов.
   При \( x<0 \), \( x(x-5) > 0 \).
   При \( 0При \( x>5 \), \( x(x-5) > 0 \).
6. Нам нужен интервал, где \( x(x-5) < 0 \), то есть \( 0 < x < 5 \).
7. Необходимо учесть, что знаменатель не может быть равен нулю, поэтому \( x \ne 0 \) и \( x \ne 5 \).

Ответ: \( (0; 5) \).