Решите неравенство \(\frac{-10}{(x-3)^2 - 5}\) ≥ 0.

Решение:

Для решения неравенства \( \frac{-10}{(x-3)^2 - 5} \ge 0 \) необходимо учесть, что числитель отрицателен (равен -10). Следовательно, чтобы вся дробь была неотрицательной ( \(\ge 0\) ), знаменатель должен быть отрицательным и не равным нулю.

1. Приравняем знаменатель к нулю, чтобы найти точки, которые исключаются из области определения: \( (x-3)^2 - 5 = 0 \).
2. Решим это уравнение: \( (x-3)^2 = 5 \).
3. Извлечём квадратный корень из обеих частей: \( x-3 = \pm \sqrt{5} \).
4. Найдём значения \( x \): \( x = 3 \pm \sqrt{5} \).
5. Таким образом, точки \( x = 3 - \sqrt{5} \) и \( x = 3 + \sqrt{5} \) исключаются из области определения.
6. Теперь нам нужно, чтобы знаменатель был отрицательным: \( (x-3)^2 - 5 < 0 \).
7. Это неравенство можно переписать как \( (x-3)^2 < 5 \).
8. Извлекая квадратный корень, получаем: \( -\sqrt{5} < x-3 < \sqrt{5} \).
9. Прибавим 3 ко всем частям неравенства: \( 3 - \sqrt{5} < x < 3 + \sqrt{5} \).
10. Учитывая, что числитель отрицателен, а знаменатель должен быть отрицательным, вся дробь будет положительной. Так как условие \(\ge 0\) , но числитель никогда не равен нулю, мы ищем строго отрицательный знаменатель.

Ответ: \( (3 - \sqrt{5}; 3 + \sqrt{5}) \).