Решите неравенство: \(\frac{117 - 15 \cdot 3^x}{9^x - 36 \cdot 3^x + 243} \le 1\)

Решение:

Для решения неравенства \(\frac{117 - 15 \cdot 3^x}{9^x - 36 \cdot 3^x + 243} \le 1\) сделаем замену переменной \( t = 3^x \). Учтём, что \( 9^x = (3^x)^2 = t^2 \) и \( t > 0 \).

Получим неравенство:

\[ \frac{117 - 15t}{t^2 - 36t + 243} \le 1 \]\[ \frac{117 - 15t}{t^2 - 36t + 243} - 1 \le 0 \]\[ \frac{117 - 15t - (t^2 - 36t + 243)}{t^2 - 36t + 243} \le 0 \]\[ \frac{117 - 15t - t^2 + 36t - 243}{t^2 - 36t + 243} \le 0 \]\[ \frac{-t^2 + 21t - 126}{t^2 - 36t + 243} \le 0 \]\[ \frac{t^2 - 21t + 126}{t^2 - 36t + 243} \ge 0 \]

Разложим знаменатель на множители. Найдем корни уравнения \( t^2 - 36t + 243 = 0 \).

\[ D = (-36)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 243 = 1296 - 972 = 324 \]\[ \sqrt{D} = 18 \]\[ t_1 = \frac{36 - 18}{2} = 9 \]\[ t_2 = \frac{36 + 18}{2} = 27 \]

Значит, \( t^2 - 36t + 243 = (t - 9)(t - 27) \).

Теперь разложим числитель. Найдем корни уравнения \( t^2 - 21t + 126 = 0 \).

\[ D = (-21)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 126 = 441 - 504 = -63 \]

Так как дискриминант отрицательный, а коэффициент при \( t^2 \) положительный, то \( t^2 - 21t + 126 > 0 \) для всех \( t \).

Неравенство примет вид:

\[ \frac{\text{положительное}}{ (t - 9)(t - 27) } \ge 0 \]

Это означает, что \( (t - 9)(t - 27) > 0 \), так как знаменатель не может быть равен нулю.

Решая \( (t - 9)(t - 27) > 0 \), получаем:

\( t < 9 \) или \( t > 27 \).

Вернемся к замене \( t = 3^x \):

1. \( 3^x < 9 \)

\( 3^x < 3^2 \)
\( x < 2 \)

2. \( 3^x > 27 \)

\( 3^x > 3^3 \)
\( x > 3 \)

Учитывая, что \( t > 0 \), эти решения подходят.

Ответ: \( x \in (-\infty; 2) \cup (3; +\infty) \).