Решите неравенство \(\frac{-12}{(x - 1)^2 - 2} \ge 0\)

Решение:

Чтобы дробь была больше или равна нулю, числитель и знаменатель должны иметь одинаковые знаки. Так как числитель ( -12 ) отрицательный, знаменатель тоже должен быть отрицательным.

\( (x - 1)^2 - 2 < 0 \)

1. Раскроем квадрат: \( x^2 - 2x + 1 - 2 < 0 \)
2. Упростим: \( x^2 - 2x - 1 < 0 \)
3. Найдем корни квадратного уравнения \( x^2 - 2x - 1 = 0 \). Используем дискриминант: \( D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1) = 4 + 4 = 8 \).
4. Найдем корни: \( x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 \pm \sqrt{8}}{2} = \frac{2 \pm 2\sqrt{2}}{2} = 1 \pm \sqrt{2} \).
5. Таким образом, корни уравнения: \( x_1 = 1 - \sqrt{2} \) и \( x_2 = 1 + \sqrt{2} \).
6. Так как парабола \( y = x^2 - 2x - 1 \) направлена ветвями вверх, то неравенство \( x^2 - 2x - 1 < 0 \) выполняется при \( 1 - \sqrt{2} < x < 1 + \sqrt{2} \).
7. Знаменатель не может быть равен нулю, поэтому \( (x - 1)^2 - 2
   e 0 \). Следовательно, \( x
   e 1 - \sqrt{2} \) и \( x
   e 1 + \sqrt{2} \).

Получаем, что решение неравенства — это интервал \( (1 - \sqrt{2}; 1 + \sqrt{2}) \).

Ответ: \( (1 - \sqrt{2}; 1 + \sqrt{2}) \).