Решите неравенство - \(\frac{14}{x^2 + 5x - 14}\) \(\le\) 0.

Решение:

Данное неравенство имеет вид \( -\frac{14}{x^2 + 5x - 14} \le 0 \). Умножим обе части неравенства на -1 и изменим знак неравенства на противоположный:

\( \frac{14}{x^2 + 5x - 14} \ge 0 \)

Дробь будет неотрицательной, когда числитель и знаменатель имеют одинаковый знак. Так как числитель (14) положителен, то и знаменатель должен быть положителен:

\( x^2 + 5x - 14 > 0 \)

Найдем корни квадратного трехчлена \( x^2 + 5x - 14 = 0 \). Используем формулу дискриминанта:

\[ D = b^2 - 4ac = 5^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-14) = 25 + 56 = 81 \]

\( \sqrt{D} = \sqrt{81} = 9 \)

Найдем корни:

\[ x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-5 + 9}{2} = \frac{4}{2} = 2 \]

\[ x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-5 - 9}{2} = \frac{-14}{2} = -7 \]

Теперь решим неравенство \( x^2 + 5x - 14 > 0 \). Так как парабола \( y = x^2 + 5x - 14 \) ветвями вверх, то неравенство выполняется при значениях \( x \) вне интервала между корнями:

\( x < -7 \) или \( x > 2 \)

Необходимо также учесть, что знаменатель не может быть равен нулю, поэтому \( x \) не может быть равен \( -7 \) и \( 2 \). Наше решение \( x < -7 \) или \( x > 2 \) уже исключает эти значения.

Таким образом, исходное неравенство эквивалентно \( \frac{14}{x^2 + 5x - 14} \ge 0 \), что выполняется, когда \( x^2 + 5x - 14 > 0 \).

Решением неравенства являются интервалы \( (-\infty; -7) \cup (2; +\infty) \).

Ответ: \( x \in (-\infty; -7) \cup (2; +\infty) \).