Решите неравенство: \(\frac{2x^2 - 16x + 32}{x+6} \leq 0\)

Решение неравенства:

1. Преобразуем числитель:\[ 2x^2 - 16x + 32 = 2(x^2 - 8x + 16) = 2(x-4)^2 \]
2. Исходное неравенство принимает вид:\[ \frac{2(x-4)^2}{x+6} \leq 0 \]
3. Анализируем знаки:

   Выражение $$2(x-4)^2$$ всегда неотрицательно (больше или равно нулю) для любого действительного x. Оно равно нулю при x=4.

   Знаменатель $$x+6$$ должен быть строго отрицательным, так как неравенство строгое (меньше нуля), а числитель может быть равен нулю. Если знаменатель равен нулю, то выражение не определено.

4. Рассмотрим два случая:
   1. Случай 1: $$2(x-4)^2 = 0$$ и $$x+6 < 0$$.
      Это возможно только при $$x=4$$. Но при $$x=4$$ знаменатель $$x+6 = 10$$, что больше нуля. Значит, этот случай не подходит.
   2. Случай 2: $$2(x-4)^2 > 0$$ и $$x+6 < 0$$.
      $$2(x-4)^2 > 0$$ выполняется для всех $$x
      eq 4$$.
      $$x+6 < 0$$ выполняется при $$x < -6$$.
      Объединяя эти условия, получаем $$x < -6$$.
5. Учитываем случай равенства нулю: При $$x=4$$ числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю. Значит, $$x=4$$ является решением неравенства, так как $$0 leq 0$$.
6. Объединяем решения: У нас есть решение $$x < -6$$ и отдельное решение $$x=4$$.

Ответ: $$x < -6$$ или $$x = 4$$.