Решите неравенство: \(\frac{3\lg^2 x-8}{\lg^2 x-4}\geq 2\).

ОДЗ: \(x>0\), \(\lg^2x-4\ne0\), поэтому \(\lg x\ne\pm2\).

Пусть \(t=\lg x\). Тогда:

\(\frac{3t^2-8}{t^2-4}\geq2\),

\(\frac{3t^2-8-2t^2+8}{t^2-4}\geq0\),

\(\frac{t^2}{t^2-4}\geq0\).

Критические точки: \(t=-2\), \(t=0\), \(t=2\). Точки \(t=\pm2\) исключаются из ОДЗ, а \(t=0\) входит в решение.

Следовательно, \(t\in(-\infty;-2)\cup\{0\}\cup(2;+\infty)\).

Возвращаемся к переменной \(x\):

\(\lg x<-2\Rightarrow 0<x<10^{-2}\),

\(\lg x=0\Rightarrow x=1\),

\(\lg x>2\Rightarrow x>10^2\).

Ответ: \(x\in(0;10^{-2})\cup\{1\}\cup(10^2;+\infty)\).