Решите неравенство $$\frac{4^x - 3 \cdot 2^x + 2}{\log_3(0,5 \cdot 2^x)} \ge 0$$.

Question

Вопрос:

Решите неравенство $$\frac{4^x - 3 \cdot 2^x + 2}{\log_3(0,5 \cdot 2^x)} \ge 0$$.

Ответ:

ФИО:Телефон:Емаил:Полное описание сути нарушения прав (почему распространение данной информации запрещено Правообладателем):

Accepted Answer

Решение:

Для решения неравенства преобразуем числитель и знаменатель.

Числитель:

Пусть $ y = 2^x $. Тогда $ 4^x = (2^x)^2 = y^2 $. Числитель принимает вид $ y^2 - 3y + 2 $.

Найдем корни квадратного трехчлена $ y^2 - 3y + 2 = 0 $:

$ D = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 9 - 8 = 1 $

$ y_1 = \frac{3 + 1}{2} = 2 $, $ y_2 = \frac{3 - 1}{2} = 1 $.

Разложим числитель на множители: $ (y - 1)(y - 2) = (2^x - 1)(2^x - 2) $.

Знаменатель:

$ \log_3(0,5 \cdot 2^x) $. Для существования логарифма необходимо, чтобы аргумент был положительным: $ 0,5 \cdot 2^x > 0 $. Так как $ 2^x > 0 $ всегда, это условие выполняется.

Также знаменатель не должен быть равен нулю: $ \log_3(0,5 \cdot 2^x)
e 0 $.

Это означает, что $ 0,5 \cdot 2^x
e 3^0 $, то есть $ 0,5 \cdot 2^x
e 1 $.

$ 2^x
e \frac{1}{0,5} $ $ \implies $ $ 2^x
e 2 $ $ \implies $ $ x
e 1 $.

Теперь неравенство имеет вид:

$ \frac{(2^x - 1)(2^x - 2)}{\log_3(0,5 \cdot 2^x)} \ge 0 $.

Найдем корни числителя:

$ 2^x - 1 = 0 $ $ \implies $ $ 2^x = 1 $ $ \implies $ $ x = 0 $.

$ 2^x - 2 = 0 $ $ \implies $ $ 2^x = 2 $ $ \implies $ $ x = 1 $.

Теперь рассмотрим знак числителя и знаменателя на интервалах, учитывая, что $ x
e 1 $.

Интервалы:

1. $ x < 0 $:

$ 2^x < 1 $ (знак минус)

$ 2^x < 2 $ (знак минус)

$ 0,5 \cdot 2^x < 0,5 $ $ \implies $ $ \log_3(0,5 \cdot 2^x) < \log_3(0,5) < 0 $ (знак минус)

Дробь: $ \frac{(-)(-) }{(-)} = (-) $. Не подходит.

2. $ 0 \le x < 1 $:

$ 2^x \ge 1 $ (знак плюс)

$ 2^x < 2 $ (знак минус)

$ 0,5 \le 0,5 \cdot 2^x < 1 $ $ \implies $ $ \log_3(0,5) \le \log_3(0,5 \cdot 2^x) < 0 $ (знак минус)

Дробь: $ \frac{(+)(-)}{(-)} = (+) $. Подходит.

3. $ x > 1 $:

$ 2^x > 2 $ (знак плюс)

$ 0,5 \cdot 2^x > 1 $ $ \implies $ $ \log_3(0,5 \cdot 2^x) > 0 $ (знак плюс)

Дробь: $ \frac{(+)(+)}{(+)} = (+) $. Подходит.

Объединяем подходящие интервалы: $ [0, 1) \cup (1, \infty) $.

Ответ: [0; 1) $ \cup $ (1; +∞).