Решите неравенство: \frac{4x^2 - 4x + 1}{2x^2 + 13x - 7} \le 0.

1. Преобразуем числитель и знаменатель: \(\frac{(2x-1)^2}{2x^2 + 13x - 7} \le 0\).
2. Найдем корни числителя: \(2x-1=0 \implies x = 1/2\).
3. Найдем корни знаменателя: \(2x^2 + 13x - 7 = 0\). Дискриминант \(D = 13^2 - 4(2)(-7) = 169 + 56 = 225\). Корни: \(x = \frac{-13 \pm \sqrt{225}}{4} = \frac{-13 \pm 15}{4}\), то есть \(x_1 = \frac{2}{4} = 1/2\) и \(x_2 = \frac{-28}{4} = -7\).
4. Заметим, что корень числителя \(x=1/2\) совпадает с одним из корней знаменателя. Знаменатель не может быть равен нулю, поэтому \(x
e 1/2\) и \(x
e -7\).
5. Так как числитель \((2x-1)^2\) всегда неотрицателен, неравенство будет выполняться, когда знаменатель отрицателен, и \(x
e 1/2\).
\(2x^2 + 13x - 7 < 0\). Корни: \(-7\) и \(1/2\). Парабола направлена ветвями вверх, значит, отрицательна между корнями: \(-7 < x < 1/2\).
Учитывая, что \(x
e 1/2\), получаем интервал \((-7, 1/2)\).