Решите неравенство $$ \frac{\log_3(3-x) - \log_3(x+2)}{\log_3^2(x) + \log_3(x)^4 + 1} \geq 0 $$

ОДЗ:

• Для логарифма $$\log_3(3-x)$$ требуется $$3-x > 0$$, что означает $$x < 3$$.
• Для логарифма $$\log_3(x+2)$$ требуется $$x+2 > 0$$, что означает $$x > -2$$.
• Для логарифма $$\log_3(x)$$ требуется $$x > 0$$.
• Знаменатель не должен быть равен нулю.

Анализ знаменателя:

Знаменатель имеет вид $$\log_3^2(x) + \log_3(x)^4 + 1$$. Обозначим $$y = \log_3(x)$$. Тогда знаменатель принимает вид $$y^2 + y^4 + 1$$. Так как $$y^2 \geq 0$$ и $$y^4 \geq 0$$, то $$y^2 + y^4 + 1 \geq 1$$. Следовательно, знаменатель всегда положителен и отличен от нуля.

Анализ числителя:

Условие неравенства сводится к тому, что числитель должен быть неотрицательным, так как знаменатель всегда положителен:

$$\log_3(3-x) - \log_3(x+2) \geq 0$$

$$\log_3(3-x) \geq \log_3(x+2)$$

Поскольку основание логарифма $$3 > 1$$, функция логарифма является возрастающей, поэтому:

$$3-x \geq x+2$$

$$3-2 \geq x+x$$

$$1 \geq 2x$$

$$x \leq \frac{1}{2}$$

Объединение условий:

Теперь объединим все условия:

• $$x < 3$$
• $$x > -2$$
• $$x > 0$$
• $$x \leq \frac{1}{2}$$

Пересечение этих условий дает: $$0 < x \leq \frac{1}{2}$$

Ответ: \( (0; \frac{1}{2}] \)