Решите неравенство $$\frac{x^2+10x+25}{x^2+4x-5} \geq 0$$

Краткое пояснение:

Пошаговое решение:

1. Шаг 1: Преобразуем числитель и знаменатель. Числитель $$x^2 + 10x + 25$$ является полным квадратом: $$(x+5)^2$$. Знаменатель $$x^2 + 4x - 5$$ найдем корни по теореме Виета: $$x_1 + x_2 = -4$$, $$x_1 imes x_2 = -5$$. Корни: $$x = 1$$ и $$x = -5$$. Таким образом, знаменатель можно представить как $$(x-1)(x+5)$$.
2. Шаг 2: Запишем неравенство в виде $$\frac{(x+5)^2}{(x-1)(x+5)} \geq 0$$.
3. Шаг 3: Сократим дробь, учитывая, что $$x
   eq -5$$. Неравенство примет вид $$\frac{x+5}{x-1} \geq 0$$.
4. Шаг 4: Найдем корни числителя и знаменателя полученного неравенства. Корень числителя: $$x+5 = 0 ightarrow x = -5$$. Корень знаменателя: $$x-1 = 0 ightarrow x = 1$$.
5. Шаг 5: Определим знаки выражения на интервалах, полученных при помощи корней $$-5$$ и $$1$$.
• Интервал $$(-\infty, -5)$$: Возьмем $$x = -6$$. $$\frac{-6+5}{-6-1} = \frac{-1}{-7} > 0$$.
• Интервал $$(-5, 1)$$: Возьмем $$x = 0$$. $$\frac{0+5}{0-1} = \frac{5}{-1} < 0$$.
• Интервал $$(1, \infty)$$: Возьмем $$x = 2$$. $$\frac{2+5}{2-1} = \frac{7}{1} > 0$$.
6. Шаг 6: Учитывая, что неравенство $$\geq 0$$, решение включает интервалы, где выражение положительно. Также учтем, что $$x=1$$ не входит в решение, так как знаменатель не может быть равен нулю, а $$x=-5$$ является корнем числителя исходного выражения, но после сокращения становится корнем числителя, который должен быть включен в решение, если бы не было условия $$x eq -5$$. Поэтому, исключаем $$x=1$$, но включаем $$x=-5$$ (если бы не было сокращения).
7. Шаг 7: Поскольку исходное неравенство было $$\frac{(x+5)^2}{(x-1)(x+5)} \geq 0$$, то $$x=-5$$ является допустимым значением, так как числитель обращается в ноль, а знаменатель не обращается в ноль. После сокращения мы получили $$\frac{x+5}{x-1} \geq 0$$. На интервале $$(-\infty, -5)$$ выражение положительно. На интервале $$(-5, 1)$$ отрицательно. На интервале $$(1, \infty)$$ положительно. Поскольку $$x eq -5$$ и $$x eq 1$$.
8. Шаг 8: Объединяем интервалы, где выражение положительно: $$(-\infty, -5)$$ и $$(1, \infty)$$. Но так как $$x=-5$$ является корнем числителя, то оно включается.
9. Шаг 9: Правильное решение с учетом всех ограничений: $$x eq 1$$. Числитель $$(x+5)^2$$ всегда неотрицателен. Знаменатель $$(x-1)(x+5)$$ должен быть положительным, чтобы дробь была $$\geq 0$$, так как числитель не может быть равен нулю при $$x eq -5$$. Если $$x=-5$$, то числитель равен $$0$$, знаменатель равен $$0$$, что неопределено. Однако, при рассмотрении исходной дроби, $$x=-5$$ обращает числитель в $$0$$, а знаменатель в $$0$$. Мы должны рассмотреть случай $$x=-5$$ отдельно. Исходная дробь $$\frac{(x+5)^2}{(x-1)(x+5)}$$. При $$x=-5$$, получаем $$\frac{0}{0}$$ — неопределенность. То есть $$x=-5$$ не входит в область допустимых значений.
10. Шаг 10: Поэтому, решаем $$\frac{x+5}{x-1} > 0$$ (так как $$x eq -5$$). Решение: $$(-\infty, -5) \cup (1, \infty)$$.
11. Шаг 11: Итоговое решение: $$(-\infty, -5) \cup (1, \infty)$$.

Ответ: $$(-\infty, -5) \cup (1, \infty)$$