Решите неравенство \(\frac{x^2 - 12x + 36}{x^2 - 4x - 12} \geq 0\).

Краткое пояснение:

Для решения рационального неравенства необходимо найти корни числителя и знаменателя, построить числовую прямую и определить знаки интервалов.

Пошаговое решение:

1. Шаг 1: Разложим числитель и знаменатель на множители.
• Числитель: \( x^2 - 12x + 36 = (x - 6)^2 \). Корень числителя: \( x = 6 \) (двукратный корень).
• Знаменатель: \( x^2 - 4x - 12 \). Найдем корни квадратного уравнения \( x^2 - 4x - 12 = 0 \) по теореме Виета: \( x_1 + x_2 = 4 \), \( x_1 \cdot x_2 = -12 \). Корни: \( x_1 = 6 \), \( x_2 = -2 \). Таким образом, \( x^2 - 4x - 12 = (x - 6)(x + 2) \). Корни знаменателя: \( x = 6 \) и \( x = -2 \).
2. Шаг 2: Определим точки, которые нужно отметить на числовой прямой. Это корни числителя и знаменателя: \( -2, 6 \). Важно помнить, что корни знаменателя (точки, где знаменатель обращается в ноль) всегда выкалываются, так как на ноль делить нельзя. Корень числителя \( x=6 \) является двукратным, поэтому знак интервала при переходе через него не меняется.
3. Шаг 3: Построим числовую прямую и определим знаки интервалов.
• Область определения: \( x
  eq -2 \) и \( x
  eq 6 \).
• Возьмем пробную точку из интервала \( (6, +\infty) \), например, \( x = 7 \): \( \frac{(7 - 6)^2}{(7 - 6)(7 + 2)} = \frac{1^2}{1 · 9} = \frac{1}{9} > 0 \). Ставим '+' на этом интервале.
• Переходим через \( x = 6 \) (двукратный корень числителя), знак не меняется: '+'.
• Переходим через \( x = -2 \) (корень знаменателя), знак меняется: '-'.
4. Шаг 4: Выберем интервалы, удовлетворяющие условию \( \geq 0 \). Это интервалы, где стоит знак '+', включая точки числителя (но исключая точки знаменателя).

Таким образом, решением неравенства являются интервалы \( (-2, 6) \) и \( [6, +\infty) \), что в объединении дает \( (-2, +\infty) \), но с учетом того, что \( x
eq 6 \). Объединяя интервалы \( (-2, 6) \) и \( [6, +\infty) \) с учетом того, что \( x=6 \) является корнем числителя, мы получаем \( (-2, \infty) \). Однако, поскольку \( x
eq 6 \), то корректным решением будет \( (-2, 6) \cup [6, +\infty) \) , что упрощается до \( (-2, \infty) \) при условии, что \( x
eq 6 \). Более точный вид записи: \( (-2, 6) \cup [6, +\infty) \).

Ответ: \( (-2, 6) \cup [6, +\infty) \)