Решите неравенство $$\frac{x^2-18x+81}{x^2-8x-9} \ge 0$$.

Решение:

1. Разложим числитель и знаменатель на множители:
   • Числитель: $$x^2 - 18x + 81 = (x-9)^2$$.
   • Знаменатель: $$x^2 - 8x - 9 = (x-9)(x+1)$$.
2. Перепишем неравенство:

   $$rac{(x-9)^2}{(x-9)(x+1)} ≥ 0$$

3. Сократим дробь, учитывая, что $$x e 9$$:

   $$rac{x-9}{x+1} ≥ 0$$

4. Найдем корни числителя и знаменателя:
   • $$x-9 = 0 to x = 9$$
   • $$x+1 = 0 to x = -1$$
5. Определим знаки интервалов методом интервалов:

   При $$x > 9$$: $$rac{+}{+} = +$$

   При $$-1 < x < 9$$: $$rac{-}{+} = -$$

   При $$x < -1$$: $$rac{-}{-} = +$$

6. Учтем, что $$x e 9$$.
7. Учтем, что знаменатель не может быть равен нулю, то есть $$x e -1$$.

Ответ: $$x ∈ (-∞; -1) ∪ [9; +∞)$$