Решите неравенство: $$ \frac{x^2+4x+6}{x^2-4x+3} > 9 \text{ является множеством} $$

Решение:

1. Перенесем 9 в левую часть неравенства: \[ \frac{x^2+4x+6}{x^2-4x+3} - 9 > 0 \]
2. Приведем к общему знаменателю: \[ \frac{x^2+4x+6 - 9(x^2-4x+3)}{x^2-4x+3} > 0 \]
3. Раскроем скобки и упростим числитель: \[ \frac{x^2+4x+6 - 9x^2+36x-27}{x^2-4x+3} > 0 \] \[ \frac{-8x^2+40x-21}{x^2-4x+3} > 0 \]
4. Найдем корни числителя: \( -8x^2+40x-21 = 0 \). \( x_{1,2} = \frac{-40 \pm \sqrt{40^2 - 4(-8)(-21)}}{2(-8)} = \frac{-40 \pm \sqrt{1600 - 672}}{-16} = \frac{-40 \pm \sqrt{928}}{-16} = \frac{-40 \pm 4\sqrt{58}}{-16} = \frac{10 \mp \sqrt{58}}{4} \). \( x_1 = \frac{10 - \sqrt{58}}{4} \approx \frac{10-7.6}{4} \approx 0.6 \), \( x_2 = \frac{10 + \sqrt{58}}{4} \approx \frac{10+7.6}{4} \approx 4.4 \).
5. Найдем корни знаменателя: \( x^2-4x+3 = 0 \). \( (x-1)(x-3) = 0 \). \( x_3 = 1 \), \( x_4 = 3 \).
6. Отметим корни на числовой прямой: \( \frac{10 - \sqrt{58}}{4} \), 1, 3, \( \frac{10 + \sqrt{58}}{4} \).
7. Проверим знаки интервалов. Возьмем \( x=0 \): \( \frac{-21}{3} = -7 < 0 \).
8. Проверим \( x=2 \): \( \frac{-8(4)+40(2)-21}{4-8+3} = \frac{-32+80-21}{-1} = \frac{27}{-1} = -27 < 0 \).
9. Проверим \( x=5 \): \( \frac{-8(25)+40(5)-21}{25-20+3} = \frac{-200+200-21}{8} = \frac{-21}{8} < 0 \).
10. Получаем интервалы \( (\frac{10 - \sqrt{58}}{4}; 1) \) и \( (3; \frac{10 + \sqrt{58}}{4}) \).

Ответ: \( (\frac{10 - \sqrt{58}}{4}; 1) \cup (3; \frac{10 + \sqrt{58}}{4}) \).