Контрольные задания
Вопрос:Фото задания: Решите неравенство: \(\frac{x^2 - 7x + 10}{x - 2}\) \(\le\) 0.Фото задания

Ответ:

Решение:

Для решения неравенства \( \frac{x^2 - 7x + 10}{x - 2} \le 0 \) сначала найдём корни числителя и знаменателя.

  1. Числитель: \( x^2 - 7x + 10 = 0 \). Найдем корни квадратного уравнения. Дискриминант \( D = (-7)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 10 = 49 - 40 = 9 \). Корни: \( x_1 = \frac{7 + \sqrt{9}}{2} = \frac{7 + 3}{2} = 5 \) и \( x_2 = \frac{7 - \sqrt{9}}{2} = \frac{7 - 3}{2} = 2 \).
  2. Знаменатель: \( x - 2 = 0 \), следовательно, \( x = 2 \). Обратите внимание, что \( x \neq 2 \), так как на ноль делить нельзя.
  3. Теперь можно разложить числитель на множители: \( x^2 - 7x + 10 = (x - 2)(x - 5) \).
  4. Подставим это в исходное неравенство: \( \frac{(x - 2)(x - 5)}{x - 2} \le 0 \).
  5. Сокращаем \( (x - 2) \), но помним, что \( x \neq 2 \): \( x - 5 \le 0 \).
  6. Решаем полученное неравенство: \( x \le 5 \).
  7. Учитывая условие \( x \neq 2 \), получаем интервал.

Ответ: \( x \in (-\infty; 2) \cup (2; 5] \).