Решите неравенство: \( \frac{x^2 - 7x + 10}{x - 2} \le 0 \)

Привет! Давай разберем это неравенство вместе.

1. Находим корни числителя:

Чтобы найти корни числителя, приравниваем его к нулю:

\[ x^2 - 7x + 10 = 0 \]

Это квадратное уравнение. Можем решить его по теореме Виета. Нам нужно найти два числа, которые в сумме дают 7, а при умножении — 10. Это числа 2 и 5.

\[ (x - 2)(x - 5) = 0 \]

Значит, корни числителя: x = 2 и x = 5.

2. Находим корень знаменателя:

Знаменатель не может быть равен нулю, поэтому:

\[ x - 2
e 0 \]

Отсюда x \(
e \) 2.

3. Разбиваем числовую прямую на интервалы:

У нас есть критические точки: 2 (из знаменателя, 'выколотая') и 2, 5 (из числителя). Обрати внимание, что точка 2 является корнем и числителя, и знаменателя. Поскольку неравенство нестрогое (\( \le \)), то корень числителя (5) будет включен в ответ. А корень знаменателя (2) — нет, так как на ноль делить нельзя.

Расставим эти точки на числовой прямой:

... (---) [---] (---) ...

... 2 5 ...

4. Определяем знаки на интервалах:

Возьмем любое число из интервала (5; +∞), например, x = 6:

\[ \frac{6^2 - 7 × 6 + 10}{6 - 2} = \frac{36 - 42 + 10}{4} = \frac{4}{4} = 1 \]

Здесь знак +.

Возьмем число из интервала (2; 5), например, x = 3:

\[ \frac{3^2 - 7 × 3 + 10}{3 - 2} = \frac{9 - 21 + 10}{1} = \frac{-2}{1} = -2 \]

Здесь знак -.

5. Выбираем нужный интервал:

Нам нужно, чтобы дробь была меньше или равна нулю (\( \le 0 \)). Это соответствует интервалу, где стоит знак -.

У нас есть интервал (2; 5). Точка 2 — «выколотая», а точка 5 — «закрашенная» (так как неравенство нестрогое).

Ответ: [2; 5]