Решите неравенство $$\frac{x^2}{x-3} \le x$$.

Решение:

• Перенесем все члены неравенства в одну часть: $$ \frac{x^2}{x-3} - x \le 0 $$
• Приведем к общему знаменателю: $$ \frac{x^2 - x(x-3)}{x-3} \le 0 $$
• Упростим числитель: $$ \frac{x^2 - x^2 + 3x}{x-3} \le 0 $$
• Получим: $$ \frac{3x}{x-3} \le 0 $$
• Найдем корни числителя и знаменателя: $$ 3x=0 \implies x=0 $$ и $$ x-3=0 \implies x=3 $$.
• Эти значения разбивают числовую ось на интервалы: $$ (-\infty, 0], [0, 3), (3, \infty) $$.
• Проверим знаки выражения $$ \frac{3x}{x-3} $$ на каждом интервале:
  • На $$ (-\infty, 0) $$: Возьмем $$ x=-1 $$. $$ \frac{3(-1)}{-1-3} = \frac{-3}{-4} = \frac{3}{4} > 0 $$.
  • На $$ (0, 3) $$: Возьмем $$ x=1 $$. $$ \frac{3(1)}{1-3} = \frac{3}{-2} = -1.5 < 0 $$.
  • На $$ (3, \infty) $$: Возьмем $$ x=4 $$. $$ \frac{3(4)}{4-3} = \frac{12}{1} = 12 > 0 $$.
• Неравенство $$ \frac{3x}{x-3} \le 0 $$ выполняется при $$ x \in [0, 3) $$.

Ответ: $$ [0, 3) $$