Решите неравенство: \(\frac{x^2-x-6}{1+x^2} < 0\)

Решение:

Знаменатель \( 1+x^2 \) всегда положителен, так как \( x^2 \ge 0 \) для любого действительного \( x \). Поэтому знак неравенства определяется знаком числителя \( x^2-x-6 \).

Нам нужно решить неравенство \( x^2-x-6 < 0 \).

1. Найдем корни квадратного уравнения \( x^2-x-6 = 0 \) с помощью дискриминанта:
• \( a = 1, b = -1, c = -6 \)
• \( D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4(1)(-6) = 1 + 24 = 25 \)
• \( \sqrt{D} = 5 \)
• \( x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 - 5}{2} = \frac{-4}{2} = -2 \)
• \( x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 + 5}{2} = \frac{6}{2} = 3 \)
2. Парабола \( y = x^2-x-6 \) направлена ветвями вверх (коэффициент при \( x^2 \) равен 1, что больше 0). Неравенство \( x^2-x-6 < 0 \) выполняется для значений \( x \), при которых парабола находится ниже оси абсцисс. Это интервал между корнями.
3. Таким образом, решение неравенства: \( -2 < x < 3 \).

Ответ: (-2; 3)