Решите неравенство: \(\frac{x+3}{3x-1} < 0\)

Решение:

Для решения неравенства \(\frac{x+3}{3x-1} < 0\) найдём корни числителя и знаменателя.

1. Корень числителя: \( x+3 = 0 \Rightarrow x = -3 \)
2. Корень знаменателя: \( 3x-1 = 0 \Rightarrow 3x = 1 \Rightarrow x = \frac{1}{3} \)
3. Отметим эти корни на числовой прямой. Они разбивают прямую на три интервала: \((-\infty, -3)\), \((-3, \frac{1}{3})\) и \((\frac{1}{3}, \infty)\).
4. Определим знак выражения \(\frac{x+3}{3x-1}\) на каждом интервале:
   • На \((-\infty, -3)\): Возьмём \( x = -4 \). \(\frac{-4+3}{3(-4)-1} = \frac{-1}{-12-1} = \frac{-1}{-13} = \frac{1}{13} > 0\).
   • На \((-3, \frac{1}{3})\): Возьмём \( x = 0 \). \(\frac{0+3}{3(0)-1} = \frac{3}{-1} = -3 < 0\).
   • На \((\frac{1}{3}, \infty)\): Возьмём \( x = 1 \). \(\frac{1+3}{3(1)-1} = \frac{4}{2} = 2 > 0\).
5. Нам нужно, чтобы выражение было меньше нуля. Это происходит на интервале \((-3, \frac{1}{3})\).

Ответ: \( x \in (-3; \frac{1}{3}) \).