Решите неравенство: \(\frac{x^3 - x^2 - x + 1}{4x^2 - 16 \cdot 2x^2 + 64} \leq 0\)

Решение:

Сначала упростим знаменатель:

\( 4x^2 - 16 \cdot 2x^2 + 64 = 4x^2 - 32x^2 + 64 = -28x^2 + 64 \)

Теперь запишем неравенство с упрощённым знаменателем:

\[ \frac{x^3 - x^2 - x + 1}{-28x^2 + 64} \leq 0 \]

Разложим числитель на множители:

\[ x^3 - x^2 - x + 1 = x^2(x - 1) - 1(x - 1) = (x^2 - 1)(x - 1) = (x - 1)(x + 1)(x - 1) = (x - 1)^2(x + 1) \]

Разложим знаменатель на множители:

\[ -28x^2 + 64 = -4(7x^2 - 16) \]

Теперь неравенство выглядит так:

\[ \frac{(x - 1)^2(x + 1)}{-4(7x^2 - 16)} \leq 0 \]

Умножим обе части на \( -4 \) и сменим знак неравенства:

\[ \frac{(x - 1)^2(x + 1)}{7x^2 - 16} \geq 0 \]

Найдем корни числителя и знаменателя:

Числитель: \( (x - 1)^2(x + 1) = 0 \) => \( x = 1 \) (кратности 2) или \( x = -1 \).

Знаменатель: \( 7x^2 - 16 = 0 \) => \( x^2 = \frac{16}{7} \) => \( x = \pm \sqrt{\frac{16}{7}} = \pm \frac{4}{\sqrt{7}} \) => \( x = \pm \frac{4\sqrt{7}}{7} \).

Приближённые значения корней знаменателя: \( \pm \frac{4 \cdot 2.646}{7} \approx \pm \frac{10.584}{7} \approx \pm 1.51 \).

Таким образом, у нас есть следующие точки на числовой прямой: \( -\frac{4\sqrt{7}}{7}, -1, 1, \frac{4\sqrt{7}}{7} \).

Рассмотрим знаки выражений на интервалах:

Интервал \( (-\infty, -\frac{4\sqrt{7}}{7}) \): \( (x-1)^2 > 0 \), \( x+1 < 0 \), \( 7x^2-16 > 0 \) => \( \frac{+ \cdot -}{+} = - \)

Интервал \( (-\frac{4\sqrt{7}}{7}, -1) \): \( (x-1)^2 > 0 \), \( x+1 < 0 \), \( 7x^2-16 < 0 \) => \( \frac{+ \cdot -}{-} = + \)

Интервал \( (-1, 1) \): \( (x-1)^2 > 0 \), \( x+1 > 0 \), \( 7x^2-16 < 0 \) => \( \frac{+ \cdot +}{-} = - \)

Интервал \( (1, \frac{4\sqrt{7}}{7}) \): \( (x-1)^2 > 0 \), \( x+1 > 0 \), \( 7x^2-16 < 0 \) => \( \frac{+ \cdot +}{-} = - \)

Интервал \( (\frac{4\sqrt{7}}{7}, \infty) \): \( (x-1)^2 > 0 \), \( x+1 > 0 \), \( 7x^2-16 > 0 \) => \( \frac{+ \cdot +}{+} = + \)

Мы ищем, где выражение \( \geq 0 \). Учитывая, что \( x=1 \) является корнем числителя с чётной кратностью, знак не меняется при переходе через 1. Корень \( x=-1 \) и корни знаменателя \( \pm \frac{4\sqrt{7}}{7} \) влияют на знак.

При \( x = -1 \) значение равно 0, что удовлетворяет неравенству \( \geq 0 \).

При \( x = 1 \) значение равно 0, что удовлетворяет неравенству \( \geq 0 \).

Знаменатель не может быть равен нулю, поэтому \( x \neq \pm \frac{4\sqrt{7}}{7} \).

Таким образом, неравенство \( \frac{(x - 1)^2(x + 1)}{7x^2 - 16} \geq 0 \) выполняется на интервалах:

\[ [-\frac{4\sqrt{7}}{7}, -1] \cup [1, \frac{4\sqrt{7}}{7}) \cup (\frac{4\sqrt{7}}{7}, \infty) \]

Однако, исходное неравенство было \( \leq 0 \). Значит, нам нужны интервалы, где выражение было отрицательным или равным нулю.

Возвращаемся к исходному неравенству \( \frac{(x - 1)^2(x + 1)}{-28x^2 + 64} \leq 0 \).

Метод интервалов для \( \frac{(x - 1)^2(x + 1)}{-4(7x^2 - 16)} \leq 0 \) или \( \frac{(x - 1)^2(x + 1)}{7x^2 - 16} \geq 0 \).

Нам нужно \( \geq 0 \). Это интервалы \( (-\frac{4\sqrt{7}}{7}, -1) \) и \( (\frac{4\sqrt{7}}{7}, \infty) \).

Также, \( x = -1 \) и \( x = 1 \) (корень числителя) должны быть включены, если они не делают знаменатель нулем.

Знаменатель \( -28x^2 + 64 \neq 0 \), то есть \( x \neq \pm \frac{4\sqrt{7}}{7} \).

Итак, у нас есть:

\( x = -1 \) (удовлетворяет, так как равно 0)

\( x = 1 \) (удовлетворяет, так как равно 0)

Рассмотрим интервалы знаков для \( \frac{(x - 1)^2(x + 1)}{-4(7x^2 - 16)} \leq 0 \):

Числитель \( (x-1)^2(x+1) \): +++(-1)---(1)+++

Знаменатель \( -4(7x^2-16) \): ---(-\(\frac{4\sqrt{7}}{7}\))+++(\(\frac{4\sqrt{7}}{7}\))---

Дробь \( \leq 0 \):

\[ (-\infty, -\frac{4\sqrt{7}}{7}) \rightarrow \frac{+}{-} = - \quad (\text{включая } x=-1 \text{ и } x=1 \text{, если они не в знаменателе}) \]

\[ (-\frac{4\sqrt{7}}{7}, -1] \rightarrow \frac{+}{+} = + \]

\[ [-1, 1] \rightarrow \frac{\text{знак числителя}} {+} = \text{знак числителя} \]

\[ [1, \frac{4\sqrt{7}}{7}) \rightarrow \frac{+}{+} = + \]

\[ (\frac{4\sqrt{7}}{7}, \infty) \rightarrow \frac{+}{-} = - \]

Нам нужно \( \leq 0 \). Это интервалы, где дробь отрицательная или равна нулю.

Интервалы, где дробь отрицательная: \( (-\infty, -\frac{4\sqrt{7}}{7}) \) и \( (\frac{4\sqrt{7}}{7}, \infty) \).

Значения, где дробь равна нулю: \( x = -1 \) и \( x = 1 \).

Знаменатель не равен нулю при \( x = -1 \) и \( x = 1 \).

Следовательно, решение:

\[ (-\infty, -\frac{4\sqrt{7}}{7}) \cup \{-1\} \cup \{1\} \cup (\frac{4\sqrt{7}}{7}, \infty) \]

Это эквивалентно:

\[ (-\infty, -\frac{4\sqrt{7}}{7}) \cup [-1, 1] \cup (\frac{4\sqrt{7}}{7}, \infty) \]

Однако, при \( x=-1 \) числитель равен 0, а знаменатель \( -28(-1)^2 + 64 = -28+64 = 36 \). Значит \( 0/36 = 0 \), что \( \leq 0 \). \( x=-1 \) подходит.

При \( x=1 \) числитель равен 0, а знаменатель \( -28(1)^2 + 64 = -28+64 = 36 \). Значит \( 0/36 = 0 \), что \( \leq 0 \). \( x=1 \) подходит.

Рассмотрим интервалы для \( \frac{(x - 1)^2(x + 1)}{-4(7x^2 - 16)} \leq 0 \) ещё раз.

Знаменатель \( -4(7x^2 - 16) \) равен нулю при \( x = \pm \frac{4\sqrt{7}}{7} \).

Корни числителя: \( x=1 \) (кратности 2) и \( x=-1 \).

Числовая ось:

-----------------(-\(\frac{4\sqrt{7}}{7}\))-----( -1 )-----( 1 )-----( \(\frac{4\sqrt{7}}{7}\) )-----------------

Знаки выражений:

\( (x-1)^2 \): + | + | + | +

\( x+1 \): - | - | + | +

\( 7x^2-16 \): + | - | - | +

\( -4(7x^2-16) \): - | + | + | -

\( (x-1)^2(x+1) \): - | - | + | +

\( \frac{(x-1)^2(x+1)}{-4(7x^2-16)} \): <0 | <0 | >0 | >0

Нам нужно \( \leq 0 \). Это интервалы, где знак '<0'.

\[ (-\infty, -\frac{4\sqrt{7}}{7}) \cup (\frac{4\sqrt{7}}{7}, \infty) \]

Теперь добавим корни числителя, если они не обращают знаменатель в ноль.

\( x=-1 \) не обращает знаменатель в ноль. \( x=1 \) не обращает знаменатель в ноль.

При \( x=-1 \), дробь равна 0. При \( x=1 \), дробь равна 0.

Следовательно, \( x=-1 \) и \( x=1 \) должны быть включены в решение.

Окончательный ответ:

\[ (-\infty, -\frac{4\sqrt{7}}{7}) \cup \{-1\} \cup \{1\} \cup (\frac{4\sqrt{7}}{7}, \infty) \]

Записываем как объединение промежутков:

\[ (-\infty, -\frac{4\sqrt{7}}{7}) \cup [-1, 1] \cup (\frac{4\sqrt{7}}{7}, \infty) \]

Ответ: \( x \in (-\infty, -\frac{4\sqrt{7}}{7}) \cup [-1, 1] \cup (\frac{4\sqrt{7}}{7}, \infty) \).