Решите неравенство: \(\frac{x-5}{x-3} \ge 0\).

Решение:

Чтобы решить дробно-рациональное неравенство, рассмотрим знаки числителя и знаменателя.

1. Найдем корни числителя: \( x - 5 = 0 \implies x = 5 \).
2. Найдем корни знаменателя: \( x - 3 = 0 \implies x = 3 \).
3. На числовой прямой отметим точки 3 и 5. Эти точки разбивают прямую на три интервала: \( (-\infty, 3) \), \( (3, 5) \), \( (5, \infty) \).
4. Проверим знак выражения \(\frac{x-5}{x-3}\) на каждом интервале:
   • При \( x < 3 \) (например, \( x=0 \)): \(\frac{0-5}{0-3} = \frac{-5}{-3} = \frac{5}{3} > 0 \).
   • При \( 3 < x < 5 \) (например, \( x=4 \)): \(\frac{4-5}{4-3} = \frac{-1}{1} = -1 < 0 \).
   • При \( x > 5 \) (например, \( x=6 \)): \(\frac{6-5}{6-3} = \frac{1}{3} > 0 \).
5. Так как неравенство \(\ge 0\), нам подходят интервалы, где выражение положительно или равно нулю. Точка \( x=5 \) включается в решение, так как числитель обращается в ноль. Точка \( x=3 \) не включается, так как знаменатель не может быть равен нулю.

Таким образом, решение неравенства — объединение интервалов \( (-\infty, 3) \) и \( [5, \infty) \).

Ответ: \( x \in (-\infty, 3) \cup [5, \infty) \).