4) Решите неравенство f'(x) > 0, если f(x) = (4−x). (x+3)²

Пошаговое решение:

1. Находим производную функции f(x) = (4-x)(x+3)²:

   \[ f'(x) = (4-x)'(x+3)^2 + (4-x)((x+3)^2)'\]

   \[ f'(x) = -1 cdot (x+3)^2 + (4-x) cdot 2(x+3)\]

   \[ f'(x) = -(x+3)^2 + 2(4-x)(x+3)\]

2. Упрощаем выражение:

   \[ f'(x) = -(x^2 + 6x + 9) + 2(4x + 12 - x^2 - 3x)\]

   \[ f'(x) = -x^2 - 6x - 9 + 8x + 24 - 2x^2 - 6x\]

   \[ f'(x) = -3x^2 - 4x + 15\]

3. Решаем неравенство f'(x) > 0:

   \[ -3x^2 - 4x + 15 > 0\]

   \[ 3x^2 + 4x - 15 < 0\]

4. Находим корни квадратного уравнения 3x² + 4x - 15 = 0:

   \[ D = b^2 - 4ac = 4^2 - 4 cdot 3 cdot (-15) = 16 + 180 = 196\]

   \[ x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-4 + \sqrt{196}}{2 cdot 3} = \frac{-4 + 14}{6} = \frac{10}{6} = \frac{5}{3}\]

   \[ x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-4 - \sqrt{196}}{2 cdot 3} = \frac{-4 - 14}{6} = \frac{-18}{6} = -3\]

5. Определяем интервалы, где 3x² + 4x - 15 < 0:

   Так как коэффициент при x² положительный, парабола направлена вверх. Значит, между корнями функция принимает отрицательные значения.

   Интервал: (-3; 5/3)

Ответ: (-3; 5/3)