Решите неравенство х² + 2x - 8 ≤ 0.

Решим неравенство х² + 2x - 8 ≤ 0:

1. Найдем корни квадратного уравнения х² + 2x - 8 = 0. Для этого воспользуемся дискриминантом: $$ D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-8) = 4 + 32 = 36 $$
2. Вычислим корни уравнения: $$ x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 + \sqrt{36}}{2 \cdot 1} = \frac{-2 + 6}{2} = \frac{4}{2} = 2 $$ $$ x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 - \sqrt{36}}{2 \cdot 1} = \frac{-2 - 6}{2} = \frac{-8}{2} = -4 $$
3. Теперь определим интервалы, на которых функция $$f(x) = x^2 + 2x - 8$$ принимает отрицательные значения. Для этого нарисуем числовую прямую и отметим на ней корни уравнения: -4 и 2.
4. Определим знаки функции на каждом интервале. Так как коэффициент при x² положительный, функция принимает положительные значения на интервалах (-∞, -4) и (2, +∞), а отрицательные – на интервале (-4, 2).
5. Поскольку нам нужно решить неравенство х² + 2x - 8 ≤ 0, то есть найти значения x, при которых функция меньше или равна нулю, выбираем интервал [-4, 2], включая граничные точки, так как неравенство нестрогое.

Ответ: $$ -4 \le x \le 2 $$.