Решите неравенство: 25х²-2x+10 –0, 22x²-4x-80 ≤0.

Для решения неравенства $$25^{x^2-2x+10} - 0{,}2^{2x^2-4x-80} \le 0$$, сначала приведем все к одному основанию.

Заметим, что $$25 = 5^2$$ и $$0{,}2 = \frac{1}{5} = 5^{-1}$$. Тогда неравенство можно переписать как:

$$ (5^2)^{x^2-2x+10} - (5^{-1})^{2x^2-4x-80} \le 0 $$

$$ 5^{2(x^2-2x+10)} - 5^{-(2x^2-4x-80)} \le 0 $$

$$ 5^{2x^2-4x+20} - 5^{-2x^2+4x+80} \le 0 $$

$$ 5^{2x^2-4x+20} \le 5^{-2x^2+4x+80} $$

Так как основание 5 > 1, то мы можем перейти к неравенству показателей, сохранив знак неравенства:

$$ 2x^2 - 4x + 20 \le -2x^2 + 4x + 80 $$

Перенесем все в левую часть:

$$ 2x^2 - 4x + 20 + 2x^2 - 4x - 80 \le 0 $$

$$ 4x^2 - 8x - 60 \le 0 $$

Разделим обе части неравенства на 4:

$$ x^2 - 2x - 15 \le 0 $$

Решим квадратное уравнение $$x^2 - 2x - 15 = 0$$.

Найдем дискриминант: $$D = (-2)^2 - 4(1)(-15) = 4 + 60 = 64$$.

Найдем корни: $$x_1 = \frac{-(-2) + \sqrt{64}}{2(1)} = \frac{2+8}{2} = 5$$

$$x_2 = \frac{-(-2) - \sqrt{64}}{2(1)} = \frac{2-8}{2} = -3$$

Тогда неравенство можно записать как: $$(x - 5)(x + 3) \le 0$$.

Решим неравенство методом интервалов. Отметим на числовой прямой точки -3 и 5.

<pre> + - + <----------------------------------- -3 5 </pre>

Неравенство выполняется на промежутке $$[-3; 5]$$.

Ответ: [-3; 5]