Решите неравенство (х+7)²(x-2) / x²+5x-14 ≥0.

Привет! Разберемся с этим неравенством вместе. Оно кажется сложным, но сейчас мы его упростим и решим!

Пошаговое решение:

1. Шаг 1: Разложим знаменатель на множители:

Квадратный трехчлен в знаменателе можно разложить на множители, решив квадратное уравнение:

\[x^2 + 5x - 14 = 0\]

Используем теорему Виета или дискриминант для нахождения корней. Здесь корни:

\[x_1 = -7, \; x_2 = 2\]

Тогда знаменатель можно записать как:

\[x^2 + 5x - 14 = (x + 7)(x - 2)\]

2. Шаг 2: Перепишем неравенство с учетом разложения:

Теперь неравенство выглядит так:

\[\frac{(x + 7)^2(x - 2)}{(x + 7)(x - 2)} \ge 0\]

3. Шаг 3: Упростим дробь, учитывая ограничения:

Сократим дробь, но помним, что x ≠ -7 и x ≠ 2 , так как на эти значения делить нельзя:

\[\frac{(x + 7)^2(x - 2)}{(x + 7)(x - 2)} = x + 7, \; x
e -7, \; x
e 2\]

Таким образом, неравенство упрощается до:

\[x + 7 \ge 0, \; x
e -7, \; x
e 2\]

4. Шаг 4: Решим упрощенное неравенство:

Решаем неравенство x + 7 ≥ 0 :

\[x \ge -7\]

5. Шаг 5: Учтем ограничения:

Вспоминаем, что x ≠ -7 и x ≠ 2 . Поэтому, хотя x = -7 удовлетворяет упрощенному неравенству, мы должны исключить эту точку, так как изначально она исключена из-за знаменателя.

6. Шаг 6: Запишем окончательный ответ:

С учетом ограничений, решением будет:

\[x \in (-7; 2) \cup (2; +\infty)\]

Ответ: x ∈ (-7; 2) ∪ (2; +∞)