Алгебра
Английский
Биология
География
Геометрия
История
Русский
Обществознание
Физика
Химия
Информатика
Литература
МатематикаВопрос:
1. Решите неравенство, используя метод интервалов: a) (x - 4)(x + 2)(x + 6) < 0; б) (5x + 11)(x + 7)(x – 20) > 0; в) х(4x - 17)(x – 9) ≥ 0; г) 105x(5x + 7)(4x - 9) ≤ 0; д) (4 – x)(x - 2)(x + 7) ≤ 0; e) (x – 11)(2x + 14)(4x – 10) < 0; ж) - (10 – 2x)(6 - x)(7x - 1) > 0.
Ответ:
Ответ: Решение неравенств методом интервалов представлено ниже.
Краткое пояснение: Решаем каждое неравенство методом интервалов, находя нули функции и определяя знаки на каждом интервале.
a) (x - 4)(x + 2)(x + 6) < 0
- Шаг 1: Находим нули функции, приравняв каждый множитель к нулю:
- \(x - 4 = 0 \Rightarrow x = 4\)
- \(x + 2 = 0 \Rightarrow x = -2\)
- \(x + 6 = 0 \Rightarrow x = -6\)
- Шаг 2: Отмечаем нули на числовой прямой и определяем знаки на каждом интервале:
- Интервалы: \((-\infty, -6)\), \((-6, -2)\), \((-2, 4)\), \((4, +\infty)\)
- Проверяем знаки на каждом интервале, подставляя значения из каждого интервала в исходное неравенство.
x | (-\infty, -6) | (-6, -2) | (-2, 4) | (4, +\infty)
----------|-----------------|----------|----------|------------
(x - 4) | - | - | - | +
(x + 2) | - | - | + | +
(x + 6) | - | + | + | +
----------|-----------------|----------|----------|------------
(x-4)(x+2)(x+6) | - | + | - | +
- Шаг 3: Выбираем интервалы, где функция меньше нуля (знак '-').
Решение:
\[x \in (-\infty, -6) \cup (-2, 4)\]б) (5x + 11)(x + 7)(x – 20) > 0
- Шаг 1: Находим нули функции:
- \(5x + 11 = 0 \Rightarrow x = -\frac{11}{5} = -2.2\)
- \(x + 7 = 0 \Rightarrow x = -7\)
- \(x - 20 = 0 \Rightarrow x = 20\)
- Шаг 2: Отмечаем нули на числовой прямой и определяем знаки на каждом интервале:
- Интервалы: \((-\infty, -7)\), \((-7, -2.2)\), \((-2.2, 20)\), \((20, +\infty)\)
x | (-\infty, -7) | (-7, -2.2) | (-2.2, 20) | (20, +\infty)
----------|-----------------|-------------|-------------|------------
(5x + 11) | - | - | + | +
(x + 7) | - | + | + | +
(x - 20) | - | - | - | +
----------|-----------------|-------------|-------------|------------
(5x+11)(x+7)(x-20) | - | + | - | +
- Шаг 3: Выбираем интервалы, где функция больше нуля (знак '+').
Решение:
\[x \in (-7, -2.2) \cup (20, +\infty)\]в) x(4x - 17)(x – 9) ≥ 0
- Шаг 1: Находим нули функции:
- \(x = 0\)
- \(4x - 17 = 0 \Rightarrow x = \frac{17}{4} = 4.25\)
- \(x - 9 = 0 \Rightarrow x = 9\)
- Шаг 2: Отмечаем нули на числовой прямой и определяем знаки на каждом интервале:
- Интервалы: \((-\infty, 0]\), \([0, 4.25]\), \([4.25, 9]\), \([9, +\infty)\)
x | (-\infty, 0] | [0, 4.25] | [4.25, 9] | [9, +\infty)
----------|-----------------|-------------|-------------|------------
x | - | + | + | +
(4x - 17) | - | - | + | +
(x - 9) | - | - | - | +
----------|-----------------|-------------|-------------|------------
x(4x-17)(x-9) | - | + | - | +
- Шаг 3: Выбираем интервалы, где функция больше или равна нулю (знак '+').
Решение:
\[x \in [0, 4.25] \cup [9, +\infty)\]г) 105x(5x + 7)(4x - 9) ≤ 0
- Шаг 1: Находим нули функции:
- \(x = 0\)
- \(5x + 7 = 0 \Rightarrow x = -\frac{7}{5} = -1.4\)
- \(4x - 9 = 0 \Rightarrow x = \frac{9}{4} = 2.25\)
- Шаг 2: Отмечаем нули на числовой прямой и определяем знаки на каждом интервале:
- Интервалы: \((-\infty, -1.4]\), \([-1.4, 0]\), \([0, 2.25]\), \([2.25, +\infty)\)
x | (-\infty, -1.4] | [-1.4, 0] | [0, 2.25] | [2.25, +\infty)
----------|--------------------|------------|-----------|--------------
105x | - | - | + | +
(5x + 7) | - | + | + | +
(4x - 9) | - | - | - | +
----------|--------------------|------------|-----------|--------------
105x(5x+7)(4x-9)| - | + | - | +
- Шаг 3: Выбираем интервалы, где функция меньше или равна нулю (знак '-').
Решение:
\[x \in (-\infty, -1.4] \cup [0, 2.25]\]д) (4 – x)(x - 2)(x + 7) ≤ 0
- Шаг 1: Находим нули функции:
- \(4 - x = 0 \Rightarrow x = 4\)
- \(x - 2 = 0 \Rightarrow x = 2\)
- \(x + 7 = 0 \Rightarrow x = -7\)
- Шаг 2: Отмечаем нули на числовой прямой и определяем знаки на каждом интервале:
- Интервалы: \((-\infty, -7]\), \([-7, 2]\), \([2, 4]\), \([4, +\infty)\)
x | (-\infty, -7] | [-7, 2] | [2, 4] | [4, +\infty)
----------|-----------------|----------|--------|------------
(4 - x) | + | + | + | -
(x - 2) | - | - | + | +
(x + 7) | - | + | + | +
----------|-----------------|----------|--------|------------
(4-x)(x-2)(x+7) | + | - | + | -
- Шаг 3: Выбираем интервалы, где функция меньше или равна нулю (знак '-').
Решение:
\[x \in [-7, 2] \cup [4, +\infty)\]e) (x – 11)(2x + 14)(4x – 10) < 0
- Шаг 1: Находим нули функции:
- \(x - 11 = 0 \Rightarrow x = 11\)
- \(2x + 14 = 0 \Rightarrow x = -7\)
- \(4x - 10 = 0 \Rightarrow x = \frac{10}{4} = 2.5\)
- Шаг 2: Отмечаем нули на числовой прямой и определяем знаки на каждом интервале:
- Интервалы: \((-\infty, -7)\), \((-7, 2.5)\), \((2.5, 11)\), \((11, +\infty)\)
x | (-\infty, -7) | (-7, 2.5) | (2.5, 11) | (11, +\infty)
----------|-----------------|------------|-----------|------------
(x - 11) | - | - | - | +
(2x + 14) | - | + | + | +
(4x - 10) | - | - | + | +
----------|-----------------|------------|-----------|------------
(x-11)(2x+14)(4x-10) | - | + | - | +
- Шаг 3: Выбираем интервалы, где функция меньше нуля (знак '-').
Решение:
\[x \in (-\infty, -7) \cup (2.5, 11)\]ж) - (10 – 2x)(6 - x)(7x - 1) > 0
- Шаг 1: Находим нули функции:
- \(10 - 2x = 0 \Rightarrow x = 5\)
- \(6 - x = 0 \Rightarrow x = 6\)
- \(7x - 1 = 0 \Rightarrow x = \frac{1}{7}\)
- Шаг 2: Отмечаем нули на числовой прямой и определяем знаки на каждом интервале:
- Интервалы: \((-\infty, \frac{1}{7})\), \((\frac{1}{7}, 5)\), \((5, 6)\), \((6, +\infty)\)
x | (-\infty, 1/7) | (1/7, 5) | (5, 6) | (6, +\infty)
----------|-----------------|----------|--------|------------
-(10 - 2x) | - | - | + | +
(6 - x) | + | + | + | -
(7x - 1) | - | + | + | +
----------|-----------------|----------|--------|------------
-(10-2x)(6-x)(7x-1) | + | - | + | -
- Шаг 3: Выбираем интервалы, где функция больше нуля (знак '+').
Решение:
\[x \in (-\infty, \frac{1}{7}) \cup (5, 6)\]Ответ: Решение неравенств методом интервалов представлено ниже.
